離散モデルの背景

先に離散モデルについての組み立ての概略を説明した。コックスとロスとルービンシュタイン(CRR)は、 二項モデルを前提に基本となる三つの変数を次のように設定した。 \begin{eqnarray*} u&= &\exp(\sigma\sqrt{dt})  \\ d&= &\exp(-\sigma\sqrt{dt})  \\ p&= &\frac{\exp(\mu dt)-d}{u-d} \end{eqnarray*} この項ではどのようにしてこれらの変数が生まれてきたのかを連続モデルを踏まえて説明しよう。

変数をこのようにあたえれば、うまくいくことは感じてもらえたかもしれないが、 突然このように与えられるといっても納得がいかないところもあろうし、 連続モデルでの測度変換における理解に役に立つものとも思われるからである。

 

確率$p$の設定

まず期間は1期間として、現在0時点と将来1時点を考えよう。二項モデルであるから、0時点の価格$S$の将来1時点での不確実性は二通りであって、 上昇($uS$)もしくは下落($dS$)である。この収益率$v$の期待値をとろう。$S_0=S$、$v=S_1/S$とすれば、 \[ E(v)=p\frac{uS}{S}+(1-p)\frac{dS}{S}=pu+(1-p)d \] 故に、 \[ p=\frac{E(v)-d}{u-d} \] これはふつうの自然確率で考えているので、同様のことをリスク中立確率$q$で行うことを考える。安全資産利子率を$r$として、 \[ S=e^{-r}(quS+(1-q)dS) \] を解けばリスク中立確率$q$がえられるので、 \[ q=\frac{e^r-d}{u-d} \] CRRはこの自然確率とリスク中立確率の式を相似させて、$E(v)=\exp(\mu)= e^{\mu}$とすることで、確率$p$を、 \begin{eqnarray*} p&= &\frac{e^{\mu}-d}{u-d} \end{eqnarray*} とした。

これは至極当然な条件設定であろう。なぜなら近似では、 \[ E(v)=e^{\mu}=1+\mu \] であって、この式は資産の収益率としてふつうに設定される条件である。 実はわざわざリスク中立確率の式変換を持ち出すまでもない。

 

変動率の設定

次に変動率の設定に進むが、1期間を明確にするために$dt$という幅で考えよう。すなわち、$dt$期間後の期待収益率はいつものとおり \[ E(v)=\exp(\mu dt) \] である。したがって近似を許せば、次が成り立つ。 \[ E(v)=pu+(1-p)d=e^{\mu dt}=1+\mu dt \] 期待収益率の分散$V(v)$は公式どおり計算をすると、 \begin{eqnarray*} V(v)&= &E(v^2)-E^2(v)  \\ &= &pu^2+(1-p)d^2-e^{2\mu dt} \\ &= &\frac{e^{\mu dt}-d}{u-d}u^2+\frac{u-e^{\mu dt}}{u-d}d^2-e^{2\mu dt} \\ &= &\frac{e^{\mu dt}(u-d)(u+d)-ud(u-d)}{u-d}-e^{2\mu dt} \end{eqnarray*} であるから、 \[ V(v)=(u+d)e^{\mu dt}-ud-e^{2\mu dt} \] となる。

CRRはこの期待収益率の分散の値を、$\sigma^2dt$とおいた。すなわち、 \[ (u+d)e^{\mu dt}-ud-e^{2\mu dt}=\sigma^2dt \] この条件も期間$dt$が付与されているだけで、ファイナンスではふつうに利用されるものであろう。

そしてさらに上昇して下落したものと、下落して上昇したものが同じ値となるように、 \[ ud=1 \] を付け加えた。分散の式と$ud=1$は2元連立方程式となるので、$u,d$を求めることができる。分散の式を移行して、 $e^{\sigma^2 dt}=1+\sigma^2 dt$を使うと、 \begin{eqnarray*} & &(u+d)e^{\mu dt}=e^{2\mu dt}+1+\sigma^2 dt=e^{2\mu dt}+e^{\sigma^2 dt} \\ & &u+d=e^{\mu dt}+e^{\sigma^2 dt-\mu dt}=u+\frac{1}{u} \\ & &u=\frac{1}{2}\left\{e^{\mu dt}+e^{\sigma^2dt-\mu dt}\pm\sqrt{(e^{\mu dt}+e^{\sigma^2dt-\mu dt})^2-4} \right\} \end{eqnarray*} 根号の中は、 \begin{eqnarray*} & & e^{2\mu dt}+2e^{\sigma^2dt}+e^{2\sigma^2dt-2\mu dt}-4 \\ &= &1+2\mu dt+2+2\sigma^2dt+1+2\sigma^2dt-2\mu dt-4=4\sigma^2dt \end{eqnarray*} したがって、 \begin{eqnarray*} u&=&\frac{1}{2}\left\{1+\mu dt+1+\sigma^2dt-\mu dt\pm2\sigma\sqrt{dt} \right\} \\ &=&1\pm\sigma\sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2dt \\ &=&e^{\pm\sigma\sqrt{dt}} \end{eqnarray*} 各式で適当に近似を利用してある。故にその解は、 \begin{eqnarray*} u&= &\exp(\sigma\sqrt{dt})  \\ d&= &\exp(-\sigma\sqrt{dt}) \end{eqnarray*} となる。

まとめてしまえば、CRRは、期待収益率を$\mu$、その分散を$\sigma^2$と置き、 二項モデルの整合性を確実とするために $ud=1$ としただけで冒頭の条件設定にたどりついたのであって、 他に複雑な制約をおいているわけではない。しかもこの設定では$ud=1$が効くために変動率$u,d$には$\sigma$だけがあって、 $\mu$は含まれてこないことに注意しよう。

 

CRRモデルの含意と測度変換

CRRモデルの興味深い点は、株価の変動率に定常的な上昇のパラメータ、 すなわち連続モデルでいうドリフト($\mu$あるいは$r$)が含まれていないことである。 変動率は$\sigma$だけであるので、現時点から将来を見たとき、株価は現在の株価水準の回りに(正規)分布することを示しており、 現在の株価水準よりいくらか上昇(ドリフト)した値の回りに分布するのではない。

われわれはリスクのある資産にはリスクプレミアムが間違いなく伴っていることを教えられてきた。 ではリスクプレミアムはどこにあるのであろうか。あるいは含まれていないのであろうか。いや含まれていないことはない。 なぜなら期待収益率はいつものように、$\mu$となっている。

CRRモデルのリスクプレミアムを支えるドリフトは、実は自然確率$p$に含まれているのである。 後に説明されるブラック・ショールズは自然確率を$p=1/2$ として切り離し、 リスクプレミアムを明示的に変動率の中にドリフトとして設定した。

しかしCRRは、自然確率をあくまでも自然確率らしくさせるために、確率の中にリスクプレミアムを含めたのである。 少し先走った話しをすると、オプション価格を求めるときにもっとも問題になるリスクプレミアムは、 ドリフトとして変動率に明示的に設定されてもよいし、確率の中に埋め込むことも可能であることを意味する。

言い換えれば、ドリフトとして明示的に設定されたリスクプレミアムを、 確率を操作することで消失させることができることになる。このことが測度変換という手法につながることになるのだが、 この項はここまでとしよう。ドリフトは変動率でも、確率においても設定できることを記憶しておいてもらえればよい。




離散モデル及び連続モデルの項を参照されたい。










































































$ud=1$を結合型という。










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