資産の確率分布（離散モデル）
離散モデルの確率分布
離散モデルは、確率分布を当初から指定したモデルであるから、さらに追加するものはあまりないが、 連続モデルとの関係を繰り返し整理しておこう。
ブラックとショールズは株価の微小変化を方程式として定義するところから出発した。これに対して、株価の変動を期間を区切って、 その変化を二つの場合（上昇率$u$、下落率$d$）に限って表現するところからスタートするのが 二項株価過程である。その株価過程は、期初の株価$S_0$、定められたtまでの期間をn個に割って、上下の変化の回数を$x,n-x$とすると、 \[ S_t=S_0u^xd^{n-x} \] となる。
すでに離散変動モデルで述べた。そしてCRR（コックス、ロス、ルービンシュタイン）は、 この式の変動率と確率に次のような値を付与することを提案した。 \begin{eqnarray*} u&= &\exp (\sigma \sqrt{dt}) \\ d&= &\exp (-\sigma \sqrt{dt})\\ p&= &\frac{\exp(\mu dt)-d}{u-d} \end{eqnarray*}
近似的にみればこの変動率と確率は、 \begin{eqnarray*} u&= &1+\sigma\sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2 dt\qquad (on\quad p)\\ d&= &1-\sigma\sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2 dt\qquad (on\quad 1-p)\\ p&= &\frac{1}{2}\left( 1-\sqrt{dt}\left( \frac{\frac{1}{2}\sigma^2-\mu}{\sigma} \right) \right) \end{eqnarray*}
と考えていることに等しい。変動率$u,d$が与えられると、先ほどの式で株価を表すことができる。 これも代入して計算できる。 \begin{eqnarray*} S_t&= &S_0\left( e^{\sigma\sqrt{dt}} \right)^x\left(e^{-\sigma\sqrt{dt}} \right)^{n-x} \\ &= &S_0\exp\left( \sigma\sqrt{t}\left( \frac{2x-n}{\sqrt{n}} \right) \right) \end{eqnarray*}
将来株価の不確実性の源泉はベルヌイ試行に基づく確率変数$x$の挙動にある。 確率変数$x$を含む$(2x-n)/\sqrt{n}$の分布$p$による期待値と分散をとろう。 二項分布の期待値は$np$、分散は$np(1-p)$であるので、同様の計算を正規分布の項では$p=1/2$で行ったが、 ここでは指定されたpを使って、
\begin{eqnarray*} E\left( \frac{2x-n}{\sqrt{n}} \right) &= &\frac{2}{\sqrt{n}}E(x)-\sqrt{n} \\ &= &\frac{2}{\sqrt{n}}\frac{n}{2}\left(1-\sqrt{dt}\left( \frac{\frac{1}{2}\sigma^2-\mu}{\sigma} \right) \right)-\sqrt{n} \\ &= &-\sqrt{t}\left( \frac{\frac{1}{2}\sigma^2-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} V\left( \frac{2x-n}{\sqrt{n}} \right) &= &\frac{4}{n}V(x) \\ &= &\frac{4}{n}\frac{n}{4}\left(1-dt\left( \frac{\frac{1}{2}\sigma^2-\mu}{\sigma} \right)^2 \right) \\ &= &1-\frac{t}{n}\left( \frac{\frac{1}{2}\sigma^2-\mu}{\sigma} \right)^2 \end{eqnarray*}
ここで、$t$をとめて$n\rightarrow\infty$とすれば、$V\rightarrow 1$となるので、中心極限定理によって、 \[ \frac{2x-n}{\sqrt{n}}\sim N\left(-\sqrt{t}\left( \frac{\frac{1}{2}\sigma^2-\mu}{\sigma} \right),1 \right) \] となる。したがって、正規分布$z\sim N(0,1)$を使って、 \begin{eqnarray*} S_t&= &S_0\exp\left( \sigma\sqrt{t}\left( \frac{2x-n}{\sqrt{n}} \right) \right)\\ &=& S_0\exp\left( \sigma\sqrt{t}\left( -\sqrt{t}\left( \frac{\frac{1}{2}\sigma^2-\mu}{\sigma} \right) \right)+z \right) \\ &= &S_0\exp\left( \left(\mu- \frac{1}{2}\sigma^2 \right)t+\sigma W_t \right) \end{eqnarray*} となり、これはブラック・ショールズのモデルと同一である。
コックス、ロス、ルービンシュタインが提案した二項モデルは、極限においてはブラックとショールズのモデルと 同一の確率分布をもたらすと考えてよいのである。この中心極限定理の活用は再び二項モデルのオプション価格の導出の際に利用されることになる。
瞬間収益率についても確認しておこう。tそのものを非常に小さい$\Delta t$ととって、 \[ \frac{\Delta S}{S}=\frac{S_{\Delta t}-S_0}{S_0}=\exp\left( \sigma\sqrt{\Delta t}\left( \frac{2x-n}{\sqrt{n}} \right) \right)-1 \] となるから、指数部分に先ほどの分布を使って、
\begin{eqnarray*} \frac{\Delta S}{S}&= &\exp\left( \sigma\sqrt{\Delta t}\left( -\sqrt{\Delta t}\left( \frac{\frac{1}{2}\sigma^2-\mu}{\sigma}\right)+z \right)\right)-1\\ &= &\exp\left( \left(\mu- \frac{1}{2}\sigma^2 \right)\Delta t+\sigma \sqrt{t}z \right) -1\\ &= &1+\left(\mu- \frac{1}{2}\sigma^2 \right)\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}z+\frac{1}{2}\sigma^2\Delta t z^2-1\\ &= &\mu\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}z \end{eqnarray*}
つまり、 \[ \frac{\Delta S}{S}\sim N(\mu\Delta t,\sigma^2\Delta t) \] ということである。
やはりブラックとショールズの株価変動と同じ結果になることが確かめられた。 3行目は近似させた上で、$\Delta tz^2=(\Delta W_t)^2=\Delta t$として、伊藤の結論を利用している。 ただし、同じなのだといっても、期間の扱い方を注意することを申し添えておこう。
簡単な測度変換の例
前項の終わりと同じ繰り返しを少し進めてみよう。
CRRの変動率にドリフト$\mu$がないのに何故結論が同一となるのか不思議に感じられる方は、 ランダムウォークが確率$p=1/2$で挙動することを思い出されるとよいのである。 CRRは変動率からドリフトを消してしまったが、式を見れば分かるように確率$p$を$1/2$でなく定数を加えることで同一の結果に到達しているのである。 このことはもう少し細かく云うとつぎのように考えればよい。
ブラック・ショールズのモデルは、 \[ S+dS=S(1+\mu dt+\sigma dW_t) \] となるが、二項モデルに順じて変動率を表記すれば、$S\rightarrow S+dS$なので両辺を$S$で割ると、 \[ 1+\mu dt+\sigma dW_t \] となる。ここで果てしなく強引に、ウィーナー過程がランダムウォークの極限であるとすれば、遡って、 \[ dW_t=\left\{ \begin{array}{ll} 1& (on\quad p=\frac{1}{2}) \\ -1& (on\quad 1-p=\frac{1}{2}) \end{array}\right.\] と考えることもできよう。
ただ、変動率は二つの場合に分解されるが、ランダムウォークの単位期間は1でなく$\sqrt{dt}$なので 、 \begin{eqnarray*} u&= &1+\mu dt+\sigma\sqrt{dt}\qquad (on\quad p)\\ d&= &1+\mu dt-\sigma\sqrt{dt}\qquad (on\quad 1-p)\\ p&= &\frac{1}{2} \end{eqnarray*} となる。この変動率の期待値をとると。 \[ up+d(1-p)=1+\mu dt \] である。
一方でCRRのモデルは、再掲すると、 \begin{eqnarray*} u&= &1+\sigma\sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2 dt\qquad (on\quad p)\\ d&= &1-\sigma\sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2 dt\qquad (on\quad 1-p)\\ p&= &\frac{1}{2}\left( 1-\sqrt{dt}\left( \frac{\frac{1}{2}\sigma^2-\mu}{\sigma} \right) \right) \end{eqnarray*} であるが、やはりこの変動率の期待値を取ると、 \begin{eqnarray*} up+d(1-p)&= &\left(1+\sigma\sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2 dt \right)\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{dt}\left( \frac{\frac{1}{2}\sigma^2-\mu}{\sigma}\right) \right)\\ & & +\left(1-\sigma\sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2 dt \right)\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{dt}\left( \frac{\frac{1}{2}\sigma^2-\mu}{\sigma}\right) \right) \\ &= &1+\mu dt \end{eqnarray*}
となって、予想どおり同一の結果が得られる。あらためて変動率と確率の相互関係をよくチェックされたい。 そして前項の冒頭に確認した定数を加算する正規分布の変数変換を思い出されたい。
厳密な条件はいろいろあるのだが、 確率変数に定数が加えられていても、その代わりに確率分布に定数が加えられていても、 期待値としては同一の結果を得ることができるケースがあるということである
この結論は測度変換と呼ばれ、後にわれわれの感覚にある（自然）確率から理論上のリスク中立と呼ばれる確率を得るための ギルサノフの定理に発展することを付け加えておこう。