先物取引価格

裁定定理から議論を展開してブラック・ショールズの偏微分方程式に進んだので、これを用いて 先物価格を導出する三つ目の方法を説明する。 すでに先物取引価格の導出は、

  1. 複製ポートフォリオによる解法
  2. 裁定定理による解法

という形式の違う二つの方法を紹介してきた。 この二つは本質的にはひとつの無裁定という概念による解法であることを説明してきたが、 この項で取り扱う偏微分方程式による解法もまた、これらに準じることが分かっていただけると思う。

ブラック・ショールスの偏微分方程式による解法は後のオプションプライシングで本格的に取上げるテーマであるので その後に立ち戻られるといっそう分かりやすいと思う。 ここでは偏微分方程式を解くことに力点をおいてはおらず、変数変換がほとんどであるので、 内容はおおよそ理解できると思う。

前提として認める公式や定理も後に触れるので、以下ではあまり細部に拘泥せず、 大体の組立てイメージをつかむ後のための準備作業と考えられたい。 先物取引価格の求め方の一つとしてこのような途もあるということだし、先で解説したとおり偏微分方程式は、 デリバティブ一般のものであって、コールオプション価格のためだけのものではないということでもある。

 

ブラック・ショールズの偏微分方程式

ブラック・ショールズの偏微分方程式は次のような形式をとるのであった。 \[ \frac{\partial C_t}{\partial t}+rS_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\frac{\partial^2C_t}{\partial S_t^2}-rC_t=0 \]

ブラックとショールズはこの方程式を解いてオプション価格$C(t,S)$を求めることに成功した。 その演繹の仮定を調べると、この方程式は先に説明した原資産$S$が対数正規分布(伊藤過程)、 \[ dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t \] に従うことと、無裁定というポートフォリオが複製できるという条件だけで得られていた。

すなわち、オプションはもちろん伊藤過程に従う原資産価格に依存するデリバティブ(数学的には$S$と$t$に依存する関数)ならば、 すべてこの方程式を満足するということになる。

例えば、もっとも基本的な原資産そのものとするデリバティブを考えれば、$C=S$とおけば、上の偏微分方程式を満足することは目視でも確認できる。

先物取引そのものは契約する(現)時点で価格が定まるからここで議論しているデリバティブではないが、 先物を組み合わせた簡単なデリバティブを考えれば、それはやはりこの方程式を満足する。

境界条件を正しく設定しうまく変換できれば、先物価格式を求めることができるはずである。 しかも偏微分方程式にはすでに確率項(ウィーナ過程:$W$)は含まれておらず、 表面的には特別な不確実性に対する考慮は不要となっており、純粋に偏微分方程式が解ければよい。

この項では後のオプションに先立って、偏微分方程式を解くことで先渡価格$F$を求めてみようというのである。 そのために先渡契約が執行される期日$T$に、$C=S-F$として$C$がペイオフとなるデリバティブを考える。

$F$は最初に締結された先渡し契約による価格である。$S-F$は過去に契約した先渡契約$F$が 刻々と変化する原資産価格$S$によって生じる正味得失を表すと思えばよい。 ただし、決済期日$T$にならないと、金銭の支払いは生じない。

いわゆるオプションにある権利行使価格に見合うものは$S-F$が担うが、このデリバティブは権利ではなくその日だけの義務であることに注意しよう。 そしてわれわれが求めたいものは$F$である。

変数は次のとおり定義されている。 \begin{array}{l|ll} 定義 & 変数名 & \\ デリバティブ価格 & C(=S-F) & \\ 現資産価格 & S & \\ 原資産期待収益率 & \mu & \\ 原資産ボラティリティ & \sigma & \\ 先渡(決済)期日 & T & \\ (任意)時点 & t (\lt T) & \\ 安全資産利子率 & r & \\ 先渡価格 & F & \end{array}

偏微分方程式を解くといっても素手で立ち向かってはなかなか戦果は得られない。 われわれはすでに基本解が得られている熱伝導方程式を利用することを戦術としよう。 簡素化された熱伝導方程式とは、関数$u=u(\tau,x)$について、 \[ \frac{\partial u}{\partial \tau}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \] が成立するものをいい、この方程式は初期条件が$u(0,x)=f(x)$であるならば、 \[ u(\tau,x)=\frac{1}{2\sqrt{\pi\tau}}\int_{-\infty}^{\infty}f(s)e^{-\frac{(x-s)^2}{4\tau}}ds \] が解となることがすでに知られている。

ブラック・ショールズ偏微分方程式の変数変換を行い、この簡素化された方程式にたどりつくことで、 自動的に解を求めてしまおうとするのである。以下では添え字の$t$は省略している。

変数変換(第一段階)

まず第一段階。各項の$S$が煩わしいので、これを消してしまい、定数係数の方程式に持ち込む。 \[ x=\log\frac{S}{F},\quad \tau=(T-t)\frac{1}{2}\sigma^2,\quad v(\tau,x)=\frac{C}{F} \] \[従って、S=Fe^x,\quad t=T-\frac{\tau}{\frac{1}{2}\sigma^2},\quad C=Fv(\tau,x) \] を利用して各項を求める。 \begin{eqnarray*} \frac{\partial C}{\partial t} &= &F\frac{\partial v}{\partial \tau}\frac{\partial \tau}{\partial t} = F\left( -\frac{1}{2}\sigma^2 \right) \frac{\partial v}{\partial \tau}\\ \frac{\partial C}{\partial S} &= &\frac{\partial C}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial S}=F\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial S}= e^{-x}\frac{\partial v}{\partial x}\\ \frac{\partial ^2C}{\partial S^2} &= &\frac{\partial }{\partial S}\frac{\partial C}{\partial S}=\frac{\partial x}{\partial S}\frac{\partial }{\partial x}\left(e^{-x}\frac{\partial v}{\partial x} \right)\\ &= &\frac{1}{Fe^x}\left( -e^{-x}\frac{\partial v}{\partial x}+e^{-x}\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} \right)\\ &=& \frac{1}{F}\left( -e^{2x}\frac{\partial v}{\partial x}+e^{-2x}\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} \right) \end{eqnarray*}

これらを元の偏微分方程式に代入する。 \begin{eqnarray*} & & F\left( -\frac{1}{2}\sigma^2 \right) \frac{\partial v}{\partial \tau}+rFe^xe^{-x}\frac{\partial v}{\partial x}\\ & & \qquad +\frac{1}{2}\sigma^2F^2e^{2x}\frac{1}{F}\left( -e^{2x}\frac{\partial v}{\partial x}+e^{-2x}\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} \right)-rC=0\\ & & F\left( \frac{1}{2}\sigma^2 \right) \frac{\partial v}{\partial \tau}=rF\frac{\partial v}{\partial x}+F\left( \frac{1}{2}\sigma^2 \right)\left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}-\frac{\partial v}{\partial x} \right)-rFv \\ & & \frac{\partial v}{\partial \tau}=\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}-\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{r}{\frac{1}{2}\sigma^2}\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{r}{\frac{1}{2}\sigma^2}v\\ & & ここで、 k=\frac{r}{\frac{1}{2}\sigma^2}とおくと、\\ & & \frac{\partial v}{\partial \tau}=\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+(k-1)\frac{\partial v}{\partial x}-kv \end{eqnarray*} となる。$S$が消えすこし式がさっぱりして、線型の方程式になった。

さらに変数変換を続ける。目標は右辺の第2、3項を消すことである。第二段階として次のようにおき、各項を求める。 \begin{eqnarray*} & & \lambda=e^{-\frac{1}{2}(k-1)x-\frac{1}{4}(k+1)^2\tau}, \quad v(\tau,x)=\lambda u(\tau,x) \\ \frac{\partial v}{\partial \tau} &= & -\frac{1}{4}(k+1)^2 \lambda u+\lambda\frac{\partial u}{\partial \tau} \\ \frac{\partial v}{\partial x} &= & -\frac{1}{2}(k-1) \lambda u+\lambda\frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial ^2v}{\partial x^2} &= & \left( -\frac{1}{2}(k-1) \right)\left( -\frac{1}{2}(k-1) \lambda u+\lambda\frac{\partial u}{\partial x} \right)\\ & & +\left( -\frac{1}{2}(k-1) \lambda \frac{\partial u}{\partial x}+ \lambda \frac{\partial ^2u}{\partial x^2} \right)\\ &= & \frac{1}{4}(k-1)^2 \lambda u-(k-1)\lambda \frac{\partial u}{\partial x} +\lambda \frac{\partial ^2u}{\partial x^2} \end{eqnarray*}

先ほどの第一段階の最後の式に代入する。 \begin{eqnarray*} & & -\frac{1}{4}(k+1)^2 \lambda u+\lambda\frac{\partial u}{\partial \tau}=\frac{1}{4}(k-1)^2 \lambda u-(k-1)\lambda \frac{\partial u}{\partial x} +\lambda \frac{\partial ^2u}{\partial x^2} \\ & & \qquad +(k-1)\left( -\frac{1}{2}(k-1) \lambda u+\lambda\frac{\partial u}{\partial x} \right)-k\lambda u\\ & & 故に、\qquad \frac{\partial u}{\partial \tau}=\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}\quad となる。 \end{eqnarray*} ブラック・ショールズ式が簡素化された熱伝導方程式に切り換った。

初期条件の設定(第二段階)

変数変換を考慮して初期条件を設定しよう。$\tau =0$ および$t=T$ である。契約満了時$T$はペイオフが$C(T,S)=S-F$となるので、 \begin{eqnarray*} u(0,x)&=& e^{\frac{1}{2}(k-1)x}v(0,x)\\ v(0,x)&=& \frac{1}{F}C(T,S)=\frac{1}{F}(S-F)\\ &=& \frac{1}{F}(Fe^x-F)=e^x-1\quad 故に、\\ u(0,x)&=& e^{\frac{1}{2}(k+1)x}-e^{\frac{1}{2}(k-1)x} \end{eqnarray*} が初期条件となる。

BS方程式の階(第三段階)

ここまでくればあとは大方の予想がつくだろう。これまでの式を整理すれば、 \begin{eqnarray*} & & C(t,S)= Fv(\tau,x)= F\lambda u(\tau,x)\\ &=& Fe^{-\frac{1}{2}(k-1)x-\frac{1}{4}(k+1)^2\tau} \frac{1}{2\sqrt{\pi \tau}}\int_{-\infty }^{\infty }f(s)e^{ -\frac{(x-s)^2}{4\tau}}ds\\ &=& Fe^{-\frac{1}{2}(k-1)x-\frac{1}{4}(k+1)^2\tau} \frac{1}{2\sqrt{\pi \tau}}\int_{-\infty }^{\infty }\left( e^{\frac{1}{2}(k+1)s}-e^{\frac{1}{2}(k-1)s} \right)e^{ -\frac{(x-s)^2}{4\tau}}ds\\ &=& Fe^{-\frac{1}{2}(k-1)x-\frac{1}{4}(k+1)^2\tau} \frac{1}{2\sqrt{\pi \tau}}\int_{-\infty }^{\infty }e^{\frac{1}{2}(k+1)s}e^{ -\frac{(x-s)^2}{4\tau}}ds\\ & & -Fe^{-\frac{1}{2}(k-1)x-\frac{1}{4}(k+1)^2\tau} \frac{1}{2\sqrt{\pi \tau}}\int_{-\infty }^{\infty }e^{\frac{1}{2}(k-1)s}e^{ -\frac{(x-s)^2}{4\tau}}ds \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} 第1項の指数部分&=&-\frac{1}{4\tau}\left\{ (s-x)+(k+1)\tau \right\}^2+x\\ 第2項の指数部分&=&-\frac{1}{4\tau}\left\{ (s-x)+(k+1)\tau \right\}^2-k\tau\\ C(t,S)&=& Fe^x\frac{1}{2\sqrt{\pi \tau}}\int_{-\infty }^{\infty }e^{-\frac{1}{4\tau}\left\{ (s-x)+(k+1)\tau \right\}^2}ds\\ & & -Fe^{-r(T-t)}\frac{1}{2\sqrt{\pi \tau}}\int_{-\infty }^{\infty }e^{-\frac{1}{4\tau}\left\{ (s-x)+(k+1)\tau \right\}^2}ds \end{eqnarray*}

最後に、 \[ z=\frac{(s-x)+(k+1)\tau}{\sqrt{2 \tau}} \] と標準正規分布へ変数変換すれば、全域の積分が1となるので、 \begin{eqnarray*} C(t,S)&=&Fe^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty }^{\infty }e^{-\frac{z^2}{2}}dz-e^{-r(T-t)}F\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty }^{\infty }e^{-\frac{z^2}{2}}dz\\ &=&S-Fe^{-r(T-t)} \end{eqnarray*} というデリバティブの価格が求められる。このデリバティブの価格式が当初のブラック・ショールズの偏微分方程式を満足していることは簡単にえられる。 \begin{eqnarray*} & & C_t=S_t-Fe^{-r(T-t)}\quad とおいて、\\ & & \frac{\partial C_t}{\partial t} = re^{-r(T-t)}F,\quad \frac{\partial C_t}{\partial S_t} = 1,\quad \frac{\partial ^2C_t}{\partial S_t^2} = 0\\ & & re^{-r(T-t)}F+rS_t-r(S_t-Fe^{-r(T-t)})= 0 \end{eqnarray*}

しかし、冒頭に断ったようにこのデリバティブは権利ではない。契約で定められた先物価格$F$と独立に動く原資産価格$S$があるだけで、決済日以前の $t\lt T$時点でのペイオフは常にゼロとなる。従ってこのデリバティブの価値は$t\lt T$時点ではゼロであるから、$C(t,S)=0$となって、 \[ S-Fe^{-r(T-t)}=0 \] でなければならない。したがって先物価格$F$が、 \[ F=e^{r(T-t)}S \] と求められる。

すでに説明したポートフォリオ複製の方法や裁定価格による方法に比べて、この偏微分方程式の解法は、 いくつかの前提知識を受け入れてしまえばさほど難しくはないが、とはいえ計算はかなり煩雑ではある。

しかしブラック・ショールズのオプション価格を求める際にも、この上の道筋とまったく同様の演繹をたどることがわかるだろう。 計算の後半に出現する正規分布の二つの項から構成される式に、ブラック・ショールズのオプション公式との類似性を気づかれている方もおられるだろう。

それらのことはいろんなデリバティブの価格を求める際の応用の広さを予感させ、偏微分方程式に用意されている数値解析と相俟って、 実務での適用の強力さを物語っている。また偏微分方程式でない解法の際も、 上記で取り組んだ標準正規分布変換などのよく似たテクニックが利用される場面に出会うことになるだろう。





































裁定定理によって、市場に裁定の機会がないならば、同一価格のポートフォリオが複製できる。

















表記の都合で、先物などの変数名が小文字から大文字になるなど変更されているので注意されたい。






















熱伝導方程式については、別の項でふれるが、純粋に数学あるいは物理学の結論として得られている。











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