二項モデルによるプライシング
（ヨーロピアン）コールオプションの合理的な価格をどのように考えるかについて紹介していこう。 まずは直観的に理解しやすい例として、原資産価格が離散型で決定されていくモデルで議論をはじめる。
先に紹介した離散型の株価変動モデルを利用する。現在の時点に対し、将来の時点で起きる状況は常に二つと考え、 もし株価が現在$S$ならば、次の時点の将来は上昇する$uS$か下落する$dS$の二つのいずれかがだけが発生する。上下率の関係は次のとうりになっている。 \[ 0\lt d\lt e^r\lt u\] $e^r$はお察しのとおり、安全資産利子率である。そしてこれらがパラメータとして一定の値のままで価格変化が継続する。
0 1 2 ･･･
$S$ $uS$ $uuS$
$dS$ $udS$
$ddS$
0時点から取引が開始されて、t時点（t回の変動）が生じた後の株価の基本となる公式は、 \[ S_t=S_0u^xd^{t-x} \] と表されることになるのであった。
ここで、変化の回数をもっと自在に扱えるように切り替える。
$t$時点を権利行使時点とする。
$t=n(dt)$あるいは$dt=t/n$として、価格変化が生じる単位を$dt$期間にする。
権利行使までの$t$期間で価格の変動は$t$回の変動ではなく、$t$時までに$n$回の変動が起きるとして、回数を増減できるようにし、 適当に単位期間$dt$の伸び縮みができるようにする。
$x$は上昇の回数だが、$t$に対する回数ではなく、$n$に対する回数と考えよう。
この変更によって1変化の期間が$dt$期間となるので、安全資産利子率も$e^{rdt}$と整合性をとることになる。 これでいろんな自由度があがった。
そして離散変動モデルで触れたCRRモデルを一般化し、変化率$u$と$d$を適当な伸び率$\mu$を含んだものとして、 \begin{eqnarray*} u&= &\exp (\mu dt+\sigma \sqrt{dt}) \\ d&= &\exp (\mu dt-\sigma \sqrt{dt}) \end{eqnarray*} とおく。つまり$m$時点の対数収益率$\log(S_{m+1}/S_m)$がこのいずれかの値となることを仮定する。
従ってt時点の株価は代入して、 \[ S_t=S_0(\exp (\mu dt+\sigma \sqrt{dt}))^x(\exp (\mu dt-\sigma \sqrt{dt}))^{n-x} \] によって求められる。これは整理すると、
\[ S_t=S_0\exp\left\{\mu t+\sigma\sqrt{t}\left( \frac{2x-n}{\sqrt{n}} \right) \right\} \] となる。これでオプションの対象となる原資産の価格変動の予測式が得られた。
次にリスク中立確率を求めよう。単位時点のリスク中立確率は、市場が無裁定であることを前提として、 \[ quS+(1-q)dS=e^{rdt}S\] が成立する確率$q$であったので、これを解いて、 \[ q=\frac{e^{rdt}-d}{u-d} \] より、変化率$u,d$を代入して、 \begin{eqnarray*} q&= &\frac{e^{rdt}-d}{u-d} \\ &= &\frac{e^{rdt}-e^{\mu dt-\sigma \sqrt{dt}}}{e^{\mu dt+\sigma \sqrt{dt}}-e^{\mu dt-\sigma \sqrt{dt}}}\\ &= &\frac{1}{2}\left\{1-\sqrt{dt}\left( \frac{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2-r}{\sigma} \right) \right\} \end{eqnarray*} と求められる。
最後の行は指数項を1次まででテイラー展開すれば、 \begin{eqnarray*} e^{rdt}&= &1+rdt \\ \exp (\mu dt+\sigma \sqrt{dt})&= &1+\mu dt+\sigma\sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2dt \\ \exp (\mu dt-\sigma \sqrt{dt})&= &1+\mu dt-\sigma\sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2dt\\ \end{eqnarray*} となるので、これを代入して、整理すれば得られる。時間があれば確認されたい。
従ってこの$q$を利用すれば、t時点までの$n$個の$dt$期間のうちに、上昇した回数が$x$、下落した回数が$n-x$となる リスク中立確率$q_x$は、二項分布のモデルをそのまま利用すれば、 \[ q_x= \binom{n}{x}\left[\frac{1}{2}\left\{1-\sqrt{dt}\left( \frac{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2-r}{\sigma} \right) \right\} \right]^x \left[\frac{1}{2}\left\{1+\sqrt{dt}\left( \frac{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2-r}{\sigma} \right) \right\} \right]^{n-x} \] となる。右辺の最初の括弧は組み合わせの数である。
t時点の株価の分布と、対応するリスク中立確率が定まったので、オプション価格が求められる。基本となる式は権利行使価格$K$として、 \[ C_0=e^{-rt}E_{q_x}(\max (S_t-K,0)) \]
となる。突然面倒な式が出てきたといぶかられるかもしれないが、よく見ればさほどのものでもない。
$\max(a,b)$は、$a$あるいは$b$いずれか大きい方を選択する関数である。
つまり時点tで、$S_t-K$と0の大きいほうをとる関数になる。 オプションの権利は市場価格が行使価格を上回らないと行使されないということを式の上で表している。
そして、これまでの説明のとおり、この将来のオプション価格の分布をリスク中立確率$q$で期待値をとり、 それを安全資産利子率で割り引けば、現在価格になるはずであるから、 オプションの現在価格になるという理屈である。
もう少し詳細に記述すれば、次のようになる。 \[ C_0=e^{-rt}\sum_{x=0}^nq_x\max\left[S_0\exp\left\{\mu t+\sigma\sqrt{t}\left( \frac{2x-n}{\sqrt{n}} \right) \right\}-K,0 \right] \]
これが離散型、二項モデルを原資産の変動と考えたときのコールオプションの現在価格を求める式となる。 ブラックショールズ式とは見かけがかなり違うと思われるだろうがいかがであろうか？