連続モデルのリスク中立確率
次第に当面の目標であるブラック・ショールズ式に向けた議論が佳境に入っていくので、これまでのページも思い出しながら進んでいかれたい。
離散モデルと同様に、連続モデルにおけるオプション価格を求めるためには原資産とする株価のモデルを設定しなければならない。 その前提として、連続型の株価変動モデルを利用するのだが、 次節のブラック・ショールズ式を解くためにも、ブラックとショールズが利用した確率微分方程式からスタートする。 \[ dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t \]
この解はすでに求められていて、 \[ S_t=S_0\exp\left( \left( \mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t +\sigma W_t \right) \] である。
ちなみに、この株価過程は二項モデルにおいて、 \begin{eqnarray*} u&= &\exp \left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma^2\right)dt+\sigma \sqrt{dt}\right) \\ d&= &\exp \left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma^2\right)dt-\sigma \sqrt{dt}\right) \\ p&= &\frac{1}{2} \end{eqnarray*} とすることからも、得ることができる。計算練習に試みられるとよいと思う。
そして、権利行使時点$t$のオプション価格は、 \[ C_t=\max(S_t-K,0) \] となるので、このオプションの現在価格を求める公式は、リスク中立確率$E_q$を利用して、 \[ C_0=e^{-rt}E_q(\max(S_t-K,0)) \] である。したがって当面問題となるのは、連続モデルにおいてリスク中立確率をどのように求めるかが焦点となる。
二項モデルにおけるリスク中立確率は、原資産である株価の1回の変動から単刀直入に１次方程式（あるいは連立方程式）を解いて求めた。 これは数学的には簡単だが非常に幸運な条件であった。
連続モデルではこのような恵まれた環境にいないので、まず解法の狙い目を探るためにリスクプレミアムを調べてみる。 なぜなら、我々が自然確率$p$を利用した株価の将来期待値を割り引いても、現在株価に戻らず、 \[ e^{-rt}E_p(S_t)\gt S_0 \] となることが、単純に自然確率を利用できない理由だからである。
なぜなら、この左辺を計算すると、確率項はブラウン運動（ウィーナー過程）$W_t\sim N(0,t)$であるので、 \begin{eqnarray*} e^{-rt}E_p(S_t)&= &e^{-rt}E_p\left\{S_0\exp\left( \left( \mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t +\sigma W_t \right) \right\} \\ &= &S_0\exp\left( (\mu-r)t \right) \end{eqnarray*} となって、通常$\mu\gt r$ であるから、たしかにリスクプレミアム $\exp((\mu-r)t)$ が付与されて、不等号になっている。
そしてその内容は期待する超過収益率の平均的な大きさであって、このモデルではリスク（分散）$\sigma^2$の程度に左右された値ではないことに注意しよう。
ハイリスクハイリターンという言葉がよく使われるが、このモデルではリターンとリスクは直接の関係を持っておらず、 すでに確定して外から与えられる独立した与件のパラメータとなっているからである。 従って収益率の平均に対する何らかの調整を行えばリスク中立確率が得られることが想定される。
改めて確認すると、我々が求めたいものは、 \[ e^{-rt}E_q(S_t)= S_0 \] となるリスク中立確率$q$である。この確率分布が見つかれば、オプションにそのまま応用することができよう。
そこで唐突だがつぎのような数学の定理を活用する。
＜ラドン・ニコディムおよびギルサノフの定理（エッセンス）＞
ある測度$P$のもとで$W_t$がブラウン運動（正規分布$N(0,t)$）に従うとき、
ラドン・ニコディム微分を、
\[ \frac{dQ}{dP}=\exp\left(-uW_t-\frac{u^2}{2}t\right) \]
とおけば、
\[ X_t=W_t+ut \]
によって定まる$X_t$は、別の測度$Q$のもとでブラウン運動（正規分布$N(0,t)$）となる。
エッセンスとしてできるだけわかりやすくしようとしたので、 かえって不可解となったのなら申し訳ないが、測度やラドン・ニコディム微分などということばは気にせず、 あまり深く解読しようとしないでいこう。要するにこの定理の主旨をいうと、 ブラウン運動は確率分布と変数を一定の条件で変化させるなら、その性質が保存されることを示している。
都合よく考えれば、適当な変換さえ見つかれば確率変数の分散は変えずに、 平均だけを変化させることができることになる。 すると、さきほど確認したリスクプレミアムを消すことができることを意味することとなる。
具体的なモデルでこの定理の適応を進めよう。 変化させることでゼロとしたいものはリスクプレミアムであった。そこで、 \[ u=\frac{\mu -r}{\sigma} \] とおいて、 \[ X_t=W_t+\frac{\mu -r}{\sigma}t \]
を考える。右辺の第二項の $u=(\mu -r)/\sigma$ はリスクの市場価格（market price of risk）と呼ばれる リスク一単位あたりの超過リターンの値であった。
確率変動する項に先にプレミアムをくわえておくという操作とも考えられる。 もとの株価過程を割引いたものに代入すると、 \begin{eqnarray*} e^{-rt}S_t&= &e^{-rt}S_0\exp\left( \left( \mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t +\sigma W_t \right) \\ &= &e^{-rt}S_0\exp\left( \left( \mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t +\sigma \left( X_t-\frac{\mu -r}{\sigma}t\right) \right) \\ &= &S_0\exp\left( -\frac{1}{2}\sigma^2t \right)\exp\left( \sigma X_t\right) \\ &= &S_0\exp\left( -\frac{1}{2}\sigma^2t+\sigma X_t\right) \end{eqnarray*} となり都合よく$\mu$と$r$が消えている。この最後の式を次項で利用する。
ここで、 $u=(\mu-r)/\sigma$ におけるラドン・ニコディム微分$(dQ/dP)$の数学的な条件は満たされていると考えよう。 すると$X_t$は再びブラウン運動になる。そこで期待値を取る。確率変数は$X_t$だけである。 \begin{eqnarray*} e^{-rt}E(S_t)&= &E(e^{-rt}S_t)=S_0\exp\left( -\frac{1}{2}\sigma^2t \right)E(\exp\left( \sigma X_t\right)) \\ &= &S_0\exp\left( -\frac{1}{2}\sigma^2t \right)\exp\left( \frac{1}{2}\sigma^2t\right) \\ &= &S_0 \end{eqnarray*}
求めたいリスク中立確率が得られた。あとはこの確率で当初の公式のオプション現在価格の計算を行えばよい。 その計算は次項として、細かなリスク中立確率の適応を先に見ておこう。
さまざまな条件はあるとしても、リスク中立確率への変換は、 \[ W_t=X_t-\frac{\mu-r}{\sigma}t \] を行うことに尽きる。その適応の例と意味を考える。まず最初は出発点となった確率微分方程式である。これに適応すると、 \begin{eqnarray*} dS_t&= &\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t \\ &= &\mu S_tdt+\sigma S_t\left( dX_t-\frac{\mu-r}{\sigma}dt \right) \\ &= &rS_tdt+\sigma S_tdX_t \end{eqnarray*}
となる。この式は両辺をSで除せば、 \[ \frac{dS_t}{S_t}=rdt+\sigma dX_t \] であって、リスク中立確率を適応すると確率項$X$を含んでいるが期待値を取れば消えるので、 期待収益率が安全資産利子率になる。この式はまた金利が確率変動するというモデルへの展開をも暗示している。
割り引かない元の株価過程は。 \begin{eqnarray*} S_t&= &S_0\exp\left( \left(r -\frac{1}{2}\sigma^2\right)t +\sigma X_t\right) \end{eqnarray*} であって、リスク中立確率における株価過程は、二項モデルの極限で述べたように安全資産利子率を平均的な上昇率（ドリフト）として動くことになる。 もう一度前項と見比べられたい。
またリスク中立確率に基づいて株価をシミュレーションする時は、常にこの式で行えばよい。 それは個人的な主観による自然確率をどのように抱こうとも不変であって、まったく普遍的である。