二項モデルの極限公式
前項ではもっともオーソドックスな株価に連続モデルを適応した計算でブラック・ショールズ式を求めた。 すでに離散型によるオプション公式は求めてあるので、これで二通りの公式をわれわれは得たことになっている。
しかし、この二つの式の関係はどうなっているのかについては、いささかの興味があるだろう。 あまりに異なっていては、公式そのものの合理性についての疑念も生じる。
本項では二項モデルの極限として、同様なブラック・ショールズ式が得られることを確認する。 要するに二つの式は等価なのであって、必要に応じて使い分ければよいということである。
具体的に、代表的な二項（離散）モデルであるCRR（コックス、ロス、ルービンシュタイン）モデルを利用し、 その極限を考えることでブラック・ショールズ式を求めてみよう。
何度も繰り返しになるが、CRRモデルは株価の変動率に上下2つの場合だけを仮定し、 \[\begin{array}{lllll} u&=& e^{\sigma\sqrt{dt}} &on &p \\ d&=& e^{-\sigma\sqrt{dt}} &on &(1-p) \\ \end{array} \] とおいた。
上昇確率$p$には、 \[ p=(e^{\mu dt}-d)/(u-d) \] という条件がついていた。 $dt$は微小期間であるが、現在を0時点、将来を$t$時点とする。$t$時点までの時間を$n$個に分割し、$dt=t/n$ あるいは$n(dt)=t$とする。
では、$n$個の$dt$期間のうち、上昇した回数が$x$、下落した回数が$n-x$とすると、変動率の組み合わせによって株価が、 \[S_t=S_0\left(e^{\sigma\sqrt{dt}} \right)^x\left(e^{-\sigma\sqrt{dt}} \right)^{n-x} \] と表すことができる。
次にリスク中立確率を求めよう。基本となる公式は$q= (e^{rdt}-d)/(u-d)$であるので、代入すればよい。 \[ q = \frac{e^{rdt}-e^{- \sigma\sqrt{dt}}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{- \sigma\sqrt{dt}}} \quad,\qquad 1-q = \frac{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{rdt}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{- \sigma\sqrt{dt}}} \]
株価の予測と確率が求められたのでオプション価格がえられる。 \begin{eqnarray*} C_0 &= & e^{-rt}E_q(C_t)\\ &= & e^{-rt}E_q\left(\mbox{max} \left[S_t-K,0\right]\right) \\ &= & e^{-rt}\sum_{x=0}^n {n \choose x} q^x(1-q)^{n-x} \max \left[S_0 (e^{\sigma\sqrt{dt}})^x(e^{- \sigma\sqrt{dt}})^{n-x} -K,0 \right] \end{eqnarray*} 先の項では、離散型であるから、いちおうの目的は達しているので、公式としてはここで止めたのであった。 本項では、$n\rightarrow\infty$として、極限に持ち込んだときの形を求めようということである。
この後の証明のアウトラインを先に説明しておこう。 連続モデルで示したようにブラックショールズ式は正規分布の確率計算を母体としている。
このために最終には正規分布の形にもっていきたい。二項モデルは二項分布を母体としているので、 伝家の宝刀である中心極限定理を利用して正規分布に変換する。
したがっていま求められたオプションの価格公式をブラック・ショールズ式を構成する二つの正規分布の形、 すなわち二つの二項分布の形にもっていき、積分領域を正しくするという手順をすすめる。
第一段階
まず$\max$関数をはずすために総和の領域を限定する。 \begin{eqnarray*} & &S_0 (e^{\sigma\sqrt{dt}})^x(e^{- \sigma\sqrt{dt}})^{n-x} -K > 0 \\ & &2x\sigma\sqrt{dt}- n\sigma\sqrt{dt} > \log\frac{K}{S_0} \\ & & x > \frac{\log\frac{K}{S_0} +n\sigma\sqrt{dt}}{2\sigma\sqrt{dt}} \end{eqnarray*}
この条件を満足する$x$の最小の値$(\geq 0)$を$m(\lt n)$とすると、 オプションの価格式は次のようにかける。なぜなら、$x$が0から$m-1$までのオプションのペイオフはゼロとなるからである。 \begin{eqnarray*} C_0 &= &e^{-rt}\sum_{x=m}^n {n \choose x}q^x(1-q)^{n-x} \left\{ S_0 (e^{\sigma\sqrt{dt}})^x(e^{- \sigma\sqrt{dt}})^{n-x} -K \right\} \\ &= &e^{-rt}\sum_{x=m}^n {n \choose x}q^x(1-q)^{n-x} S_0 (e^{\sigma\sqrt{dt}})^x(e^{- \sigma\sqrt{dt}})^{n-x} \\ & & \qquad -e^{-rt}K\sum_{x=m}^n {n \choose x}q^x(1-q)^{n-x} \end{eqnarray*}
第二段階
総和領域が限定されたオプション価格公式の右辺第二項はすでに二項分布となっているので、 第一項をやはり二項分布の形に変形する。 \begin{eqnarray*} & &e^{-rt}\sum_{x=m}^n {n \choose x}q^x(1-q)^{n-x} S_0 (e^{\sigma\sqrt{dt}})^x(e^{- \sigma\sqrt{dt}})^{n-x} \\ &= & e^{-xrdt-(n-x)rdt}S_0 \sum_{x=m}^n {n \choose x}\left( \frac{e^{rdt}-e^{- \sigma\sqrt{dt}}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{- \sigma\sqrt{dt}}} \right)^x \left(\frac{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{rdt}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{- \sigma\sqrt{dt}}} \right)^{n-x}\\ & &\qquad \times (e^{\sigma\sqrt{dt}})^x(e^{- \sigma\sqrt{dt}})^{n-x} \\ &= & S_0 \sum_{x=m}^n {n \choose x}\left( \frac{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{-rdt}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{- \sigma\sqrt{dt}}} \right)^x \left(\frac{e^{-rdt}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{- \sigma\sqrt{dt}}} \right)^{n-x} \\ &= & S_0 \sum_{x=m}^n {n \choose x}l^x(1-l)^{n-x} \end{eqnarray*} ここで、 \[ l = \frac{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{-rdt}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{- \sigma\sqrt{dt}}} \quad,\qquad 1-l = \frac{e^{-rdt}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{- \sigma\sqrt{dt}}} \] 3行目の括弧の中を$l$と$1-l$としている。これで目標の形となった。
\begin{eqnarray*} C_0 &= & S_0 \sum_{x=m}^n {n \choose x}l^x(1-l)^{n-x}-e^{-rt}K\sum_{x=m}^n {n \choose x}q^x(1-q)^{n-x} \end{eqnarray*}
第三段階
二項分布に中心局限定理を適用し、正規分布に変換するが、 二項分布の総和領域が標準正規分布の前提と逆転しているのでこれをあわせる。 まず、 \begin{eqnarray*} P(x\leq k) &= &\sum_{x=0}^k {n \choose x}l^x(1-l)^{n-x}\qquad(n\rightarrow \infty )\qquad なら\\ &= & \int_{-\infty }^{v}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}}du\qquad \left(v=\frac{k-nl}{\sqrt{nl(1-l)}} \right)\\ &= & \Psi(v) \end{eqnarray*}
であるが、取り扱っている二項分布は加算範囲が逆転しているので、これを定理に合うように変換する。 （ここで連続型の式の変換の過程を思い出されるとよい。）
\begin{eqnarray*} P(x\geq m) &= & \sum_{x=m}^n {n \choose x}l^x(1-l)^{n-x} \\ &= & \int_{v}^{\infty } \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}} du \\ &= & \int_{-\infty }^{-v} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}} du \\ &= & \Psi(w) \qquad \left(w=-v=\frac{nl-m}{\sqrt{nl(1-l)}} \right) \end{eqnarray*} 同様に、 \begin{eqnarray*} P(x\geq m) &= & \sum_{x=m}^n {n \choose x}q^x(1-q)^{n-x} \\ &= & \Psi(y) \qquad \left(y=\frac{nq-m}{\sqrt{nq(1-q)}} \right) \end{eqnarray*}
第四段階
最後に総和領域の極限を取って積分領域とする。 先に$l$と$q$の近似を計算しておく。近似の仕方は二項モデルによるオプションプライシングと同様である。 \[ l = \frac{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{-rdt}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{- \sigma\sqrt{dt}}} = \frac{1}{2}\left\{ 1+ \sqrt{dt}\left( \frac{\frac{1}{2}\sigma^2+r}{\sigma} \right) \right\} \] \[ q = \frac{e^{rdt}-e^{- \sigma\sqrt{dt}}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{- \sigma\sqrt{dt}}} = \frac{1}{2}\left\{ 1- \sqrt{dt}\left( \frac{\frac{1}{2}\sigma^2-r}{\sigma} \right) \right\} \]
$w = \frac{nl-m}{\sqrt{nl(1-l)}}$を計算する。$n\sqrt{dt}=\frac{t}{\sqrt{dt}}$である。 \begin{eqnarray*} 分子 & = & nl-m = \frac{n}{2}\left\{ 1+ \sqrt{dt}\left( \frac{\frac{1}{2}\sigma^2+r}{\sigma} \right) \right\} - \frac{\log\frac{K}{S_0} +n\sigma\sqrt{dt}}{2\sigma\sqrt{dt}}\\ & = & \frac{1}{2\sigma\sqrt{dt}}\left\{ \left(\frac{1}{2}\sigma^2+r \right)t -\log\frac{K}{S_0}\right\}\\ 分母 & = & \sqrt{nl(1-l)} =\sqrt{\frac{n}{4}\left\{1- dt\left( \frac{\frac{1}{2}\sigma^2+r}{\sigma} \right)^2 \right\}} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} w & = & \frac{\left(\frac{1}{2}\sigma^2+r \right)t -\log\frac{K}{S_0}}{\sqrt{4\sigma^2dt\frac{n}{4}\left\{1- dt\left( \frac{\frac{1}{2}\sigma^2+r}{\sigma} \right)^2 \right\}}}\\ & = & \frac{ \log\frac{S_0}{K}+rt+\frac{1}{2}\sigma^2 t}{\sqrt{\sigma^2t- tdt\left( \frac{1}{2}\sigma^2+r \right)^2 }}\\ & = & \frac{ \log\frac{S_0}{K}+rt+\frac{1}{2}\sigma^2 t}{\sigma \sqrt{t}}\qquad(dt\rightarrow 0) \end{eqnarray*} 同様に、$y=\frac{nq-m}{\sqrt{nq(1-q)}}$を求める。 \begin{eqnarray*} y & = & \frac{ \log\frac{S_0}{K}+rt-\frac{1}{2}\sigma^2 t}{\sigma \sqrt{t}} \\ & = & w-\sigma \sqrt{t} \end{eqnarray*} これで二項モデルの極限としてブラック・ショールズ式が得られた。表記を慣例にあわせよう。 \[ C_0=S_0\Psi(d)-e^{-rt}K\Psi(d-\sigma \sqrt{t}) \] \[ \Psi(d)\sim N(0,1) \quad ,\quad d=\frac{ \log\frac{S_0}{K}+rt+\frac{1}{2}\sigma^2 t}{\sigma \sqrt{t}} \]
連続モデルと離散モデルの極限の解が一致することが確認できたことになる。