二項モデルのBS偏微分方程式
先の項で複製ポートフォリオによってブラックショールズの偏微分方程式は次のように得られた。 \[\frac{\partial C_t}{\partial t}+rS_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\frac{\partial ^2C_t}{\partial S_t^2}-rC_t=0 \]
この方程式に無裁定条件以外の特別な条件は付与されていない。すなわち、オプションというだけでなく、 $S$を原資産としてペイオフの決定されるデリバティブズ（派生商品）$C$は、すべてこの偏微分方程式を満足するはずであることも述べた。
また、リスク中立確率は無裁定を基礎としており、複製ポートフォリオと同一の概念であることを状態価格と裁定定理で述べたが、 それはこのブラック・ショールズの偏微分方程式においても確認することができる。
偏微分方程式が派生資産がひろく満たすべき条件であることを含めて、これらを二項モデルで検証してみよう。
つまり、前項で二項モデルの極限でブラック・ショールズ式が求められたように、 その元になるブラック・ショールズの偏微分方程式も二項モデルから求められる、ということである。
まずおさらいを兼ねて二項モデルのオプションプライシングにおいて行ったいくつかの準備をしておこう。 株価変動は一般的な対数収益率を考えて、 \[ u=\exp(\mu dt+\sigma \sqrt{dt}) \] \[ d=\exp(\mu dt-\sigma \sqrt{dt}) \] とする。安全資産利子率はいつものように期間あたり$r$とする。
それぞれを1次まででテイラー展開して、 \begin{eqnarray*} e^{rdt}&=& 1+rdt \\ e^{\mu dt+\sigma\sqrt{dt}}&=& 1+\mu dt+\sigma \sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2dt\\ e^{\mu dt-\sigma\sqrt{dt}}&=& 1+\mu dt-\sigma \sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2dt \end{eqnarray*} となるので、リスク中立確率は、 \[ q = \frac{e^{rdt}-d}{u-d} = \frac{e^{rdt}-e^{\mu dt- \sigma\sqrt{dt}}}{e^{\mu dt+\sigma\sqrt{dt}}-e^{\mu dt- \sigma\sqrt{dt}}} = \frac{1}{2}\left\{ 1- \sqrt{dt}\left( \frac{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2-r}{\sigma} \right) \right\} \] となる。
株価価格の変化の一次、二次項は、上昇について、微小部分を無視して、 \[dS=uS-S=(\mu dt + \sigma \sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2dt)S \] \[dS^2=(uS-S)^2=\sigma^2dtS^2 \] とすれば、下落の場合も同様に求められる。
さて、以上の準備をしておいて、オプション価格公式は、$C_t=C_t(t,S_t)$について$dt$期間の変化だけをとらえればよいので、 リスク中立確率$q$によって添え字を省略して、 \[C=e^{-rdt}\left\{qC(t+dt,uS)+(1-q)C(t+dt,dS)\right\} \] となる。
この$C$から$C(t+dt,uS)$と$C(t+dt,dS)$への微小変化は、上昇の場合、 \[dC=C(t+dt,uS)-C(t,S_t) \] の左辺に伊藤の補題を適応すれば、 \[ dC(t,S)=\frac{\partial C}{\partial t}dt+\frac{\partial C}{\partial S}dS +\frac{1}{2}\frac{\partial ^2C}{\partial S^2}dS^2 \] であるから、 $dS$を代入し移項する。下落も同様にすると、 \begin{eqnarray*} C_{t+dt}(t+dt,uS)&=&C+\frac{\partial C}{\partial t}dt+\frac{\partial C}{\partial S}dS +\frac{1}{2}\frac{\partial ^2C}{\partial S^2}dS^2 \\ &= & C+\frac{\partial C}{\partial t}dt+\frac{\partial C}{\partial S}(\mu dt+\sigma \sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2dt)S \\ & & +\frac{1}{2}\frac{\partial ^2C}{\partial S^2}(\sigma^2dtS^2)\\ C_{t+dt}(t+dt,dS)&=& C+\frac{\partial C}{\partial t}dt+\frac{\partial C}{\partial S}(\mu dt-\sigma \sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2dt)S \\ & & +\frac{1}{2}\frac{\partial ^2C}{\partial S^2}(\sigma^2dtS^2)\\ \end{eqnarray*} となり、これですべて分解された。
もとのオプション価格公式に \[ e^{-rdt}=1-rdt,\quad q,\quad (1-q),\quad C(t+dt,uS),\quad C(t+dt,dS) \] を代入して、 少し煩雑な計算をすると、 \begin{eqnarray*} C &= & (1-rdt)\left( C+\frac{1}{2}\frac{\partial ^2C}{\partial S^2}(\sigma^2dtS^2)+ \frac{\partial C}{\partial t}dt+\frac{\partial C}{\partial S}rSdt\right)\\ &= & C+\frac{1}{2}\frac{\partial ^2C}{\partial S^2}(\sigma^2dtS^2)+ \frac{\partial C}{\partial t}dt+\frac{\partial C}{\partial S}rSdt-rCdt %& & \frac{\partial C}{\partial t}+rS\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial ^2C}{\partial S^2} -rC=0 \end{eqnarray*} となって、左右の$C$を消去して、$dt$を払って、ただしく添字$t$を付ければ、 \[\frac{\partial C_t}{\partial t}+rS_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\frac{\partial ^2C_t}{\partial S_t^2}-rC_t=0 \] であるから、ブラック・ショールズの偏微分方程式が求められた。