配当付きブラック・ショールズのオプション公式

前項で株式の配当の捉え方を整理して、ブラック・ショールズの偏微分方程式を求めた。 本項では、この偏微分方程式を解いて配当付きのブラック・ショールズのオプション公式を求めよう。

この偏微分方程式の解法の方針はやはり熱伝導方程式に帰着させるのであるが、ほんの少し目先を変えて、 係数のついていない簡素化された熱伝導方程式に持ち込むことにする。

偏微分方程式を解く際には、係数をうまくコントロールするのが大事なテクニックのひとつであるので、 その部分が顕著となるものを選んでみるということである。簡素化された熱伝導方程式とは次のものをいう。

関数$u=u(\tau,x)$について、 \[ \frac{\partial u}{\partial \tau}=\frac{\partial ^2u}{\partial x^2} \] が成り立っており、そしてその解が、$u(0,x)=f(x)$ならば、 \[ u(\tau,x)=\frac{1}{2\sqrt{\pi \tau }}\int_{-\infty }^{\infty }f(s)e^{-\frac{(x-s)^2}{4\tau}}ds \] となることが得られている。

第一段階

配当付き方程式を簡素化された方程式に変換することが目標となるのだが、 まず係数となっている$S$をはずしたい。定数係数の方程式に比べて、 変数が入り組んだ方程式は解くことが格段と難しいのは知っておられるだろう。

$S$をはずすにあたって新たな変数を導入するのだが、それは対数関数となる。 何故なら、対数は微分すれば逆数となるので、$1/S$を作り出して$S$をはずすということである。それで、 \[ x=\log (S/K) \] とする。$K$は後に係数を割って消すためなのだが、 \[ K=e^{-x}S\quad あるいは、S=Ke^x \] と考えれば、$S$と$K$の関係を表すということでなんとなくだが納得できる向きもあろう。

次に$t$はいまのままでは前向きに進んでしまう。われわれが条件として設定できるのは将来の権利行使日であって、 その時点でオプションのペイオフが定まるから、後退して時間を考える方が分かりやすい。 それで、新たな変数$\tau$を導入して、 \[ \tau=T-t \] と切り替えておく。もちろん$T$は定められた権利行使日である。

そして、オプション価格$C$について、 \[C=Kv(\tau,x) \] とおく。これも$v$は未知であるのでとりあえず置いただけであるが、 次のステップではこの$v$を突き詰めていくことになる。$K$はやはり後に係数を割って消すためなのだが、 これも式の形を見るとなんとなく納得できるものかもしれない。

以上の変数を定義して、それぞれの偏微分を求める。 \begin{eqnarray*} \frac{\partial C_t}{\partial t}&= &\frac{\partial (Kv)}{\partial \tau} \frac{\partial \tau}{\partial t}=K\frac{\partial v}{\partial \tau}(-1)=-K\frac{\partial v}{\partial \tau}\\ \frac{\partial C_t}{\partial S_t} &= &\frac{\partial (Kv)}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial S_t}=K\frac{\partial v}{\partial x}\frac{1}{S_t}=\frac{K}{S_t}\frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial ^2C_t}{\partial S_t^2} &= &\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial x}{\partial S_t}\frac{\partial C_t}{\partial S_t}=\frac{1}{S_t}\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{K}{S_t}\frac{\partial v}{\partial x}\right)\\ &= & \frac{1}{S_t}\frac{\partial }{\partial x}\left(e^{-x}\frac{\partial v}{\partial x} \right)=\frac{1}{S_t}\left(-e^{-x}\frac{\partial v}{\partial x}+e^{-x}\frac{\partial ^2v}{\partial x^2} \right)\\ &= & \frac{K}{S^2}\frac{\partial ^2v}{\partial x^2}-\frac{K}{S^2}\frac{\partial v}{\partial x} \end{eqnarray*}

配当付きの方程式に代入する。 \[ -K\frac{\partial v}{\partial \tau}+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\left(\frac{K}{S^2}\frac{\partial ^2v}{\partial x^2}-\frac{K}{S^2}\frac{\partial v}{\partial x} \right)+(r-D)S_t\left(\frac{K}{S_t}\frac{\partial v}{\partial x} \right)-rKv=0 \] 式を見渡すと、$S$は予定通り消える。そしてKも消えることがわかる。

しかし、$\tau$の微分項と$x$の2階の微分項を見ると、$\sigma^2/2$がまだ煩わしい。 それで、さきほど$\tau=T-t$と変更したものに手を加える。$\tau$の項は一つであるので自由に変数を切り替えることができる。 \[\tau=(T-t)\frac{1}{2}\sigma^2 \] とおき直し、$C$を偏微分する。 \begin{eqnarray*} \frac{\partial C_t}{\partial t}&= &\frac{\partial (Kv)}{\partial \tau} \frac{\partial \tau}{\partial t}=K\frac{\partial v}{\partial \tau}(-\frac{1}{2}\sigma^2)=-K\frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial v}{\partial \tau} \end{eqnarray*}

こちらのほうがいっそう整理されるので、こちらで切り替えて移行する。 \begin{eqnarray*} & & -K\frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial v}{\partial \tau}+\frac{1}{2}\sigma^2K\frac{\partial ^2v}{\partial x^2}-\frac{1}{2}\sigma^2K\frac{\partial v}{\partial x} +(r-D)K\frac{\partial v}{\partial x}-rKv=0 \\ & & \frac{\partial v}{\partial \tau}=\frac{\partial ^2v}{\partial x^2}+\left(\frac{r-D}{\frac{1}{2}\sigma^2}-1\right)\frac{\partial v}{\partial x}-\left(\frac{r}{\frac{1}{2}\sigma^2}\right)v\\ & & h=\frac{1}{2}\sigma^2,\quad p=\frac{r-D}{h},\quad q=\frac{r}{h}とおくと、\\ & & \frac{\partial v}{\partial \tau}=\frac{\partial ^2v}{\partial x^2}+\left(p-1\right)\frac{\partial v}{\partial x}-qv \end{eqnarray*} かなり整理できた。

第二段階

次に$x$の1階の微分と$v$の項を消すことを試みる。線型の常微分方程式を解くときの特性方程式を思い出してもらいたい。 微分しても自分が生き残る指数関数の特性を生かしたよくある技巧として覚えておかれて損はない。

\[k=\exp(ax+b\tau),\quad v(\tau,x)=ku(\tau,x) \] とおく。それぞれの微分をとる。 \begin{eqnarray*} \frac{\partial v}{\partial \tau}&=&bku+k\frac{\partial u}{\partial \tau}\\ \frac{\partial v}{\partial x}&=&aku+k\frac{\partial u}{\partial x}\\ \frac{\partial ^2v}{\partial x^2}&=&a^2ku+ak\frac{\partial u}{\partial x}+ak\frac{\partial u}{\partial x}+k\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}\\ &=&a^2ku+2ak\frac{\partial u}{\partial x}+k\frac{\partial ^2u}{\partial x^2} \end{eqnarray*}

定数係数化した方程式に代入する。 \[bku+k\frac{\partial u}{\partial \tau}=\left(a^2ku+2ak\frac{\partial u}{\partial x}+k\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}\right)+\left(p-1\right) \left(aku+k\frac{\partial u}{\partial x}\right) -qku \] $k$は全体を割れば消せる。各階で項をまとめる。簡素化された方程式を構成する部分がうまく残っている。 \[\frac{\partial u}{\partial \tau}=\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+\left(2a+p-1 \right)\frac{\partial u}{\partial x}+\left(a^2+(p-1)a-q -b\right)u \] となる。これはしめたもので$a,b$は自由に決めてよいのだから、 \begin{eqnarray*} & & \left\{ \begin{array}{ll} 2a+p-1=0& \\ a^2+(p-1)a-q -b=0& \end{array} \right. \\ & & すなわち、\\ & & \left\{ \begin{array}{ll} a&=-\frac{1}{2}(p-1)\\ b&=-\frac{1}{4}(p-1)^2-q \end{array} \right. \\ \end{eqnarray*}

とする。こうすることで右辺の2、3項は消え、簡素化された熱伝導方程式が得られることとなる。 \[ \frac{\partial u}{\partial \tau}=\frac{\partial ^2u}{\partial x^2} \]

いくつもの変数や関数の変換を加えてきたので、あらためて整理しておこう。 \[ \begin{array}{lll} x&= & \log \frac{S}{K} \quad (S=Ke^x)\\ C&= & Kv(\tau,x) \\ h&= & \frac{1}{2}\sigma^2 \\ \tau&= & (T-t)h \quad (t=T-\frac{\tau}{h})\\ p&= & \frac{r-D}{h} \\ q&= & \frac{r}{h} \\ k&= & \exp(-\frac{1}{2}(p-1)x-\frac{1}{4}(p-1)^2\tau -q\tau)\\ v(\tau,x)&= & ku(\tau,x)\\ u(0,x)&= & f(x) \\ u(\tau,x)&= &\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{\pi\tau}}\int_{-\infty }^{\infty }f(s)e^{-\frac{(x-s)^2}{4\tau}}ds \end{array} \]

そして求めたいものは、 \[ C=Kk\frac{1}{2\sqrt{\pi\tau}}\int_{-\infty }^{\infty }f(s)e^{-\frac{(x-s)^2}{4\tau}}ds\] というオプション価格である。

第三段階

境界条件をこれまで利用した変数と関数で書き換える。境界条件の変換の目標は、熱伝導方程式の解に与える初期関数$f(s)=u(0,s)$である。 しかしいま与えられているのは、権利行使日のペイオフであって、 \[C=\max (S-K,0)\quad on \quad t=T \] である。$\max$関数は二つの引数の大きいものを選択する関数で、ご存知のことと思う。

これまで定義した変数を使うと、 \begin{eqnarray*} C &= &Kv(\tau,x) \\ &= &Kku(\tau,x) \\ &= &\max (S-K,0) \\ &= &K\max (e^x-1,0) \end{eqnarray*} となり、1行目の最右辺と2行目の最右辺を等しいと置いて、$t=T$であるから、$\tau=0$とすれば、 \begin{eqnarray*} u(0,x)&=& \left.\frac{1}{k}\right|_{\tau=0} \max(e^x-1,0)\\ &=& \max\left( e^{\frac{1}{2}(p+1)x}-e^{\frac{1}{2}(p-1)x},0 \right)\\ f(s)&=&u(0,s)=\max\left( e^{\frac{1}{2}(p+1)s}-e^{\frac{1}{2}(p-1)s},0 \right) \end{eqnarray*} となった。

$\max$関数は理解はしやすいが、計算で取り扱うにはなかなか面倒であるので、変域を設定することではずしてしまう。すなわち、 \begin{eqnarray*} & & e^{\frac{1}{2}(p+1)s}-e^{\frac{1}{2}(p-1)s}>0 \\ & & という条件は、\\ & & s>0 \quad と同値であるので、\\ & & f(s)=\left\{ \begin{array}{ll} e^{\frac{1}{2}(p+1)s}-e^{\frac{1}{2}(p-1)s} & (s>0) \\ 0 & (s\leq 0) \end{array} \right. \end{eqnarray*} と書ける。

幸いなことにfは積分の中の関数であるので、積分領域を修正すれば特別な配慮が不要となる。これですべて整ったので、あとは計算となる。

第四段階

最初に計算しようとする全体の式を載せておこう。$f$と積分領域の調整は済ませてある。そして二つの項に割る。 \begin{eqnarray*} & & C=K\exp\left(-\frac{1}{2}(p-1)x-\frac{1}{4}(p-1)^2\tau -q\tau\right)\frac{1}{2\sqrt{\pi\tau}}\\ & & \times \int_{0}^{\infty }\left\{\exp\left(\frac{1}{2}(p+1)s\right)-\exp\left(\frac{1}{2}(p-1)s\right)\right\}\exp\left(-\frac{(x-s)^2}{4\tau}\right)ds\\ & & \quad =K\exp\left(-\frac{1}{2}(p-1)x-\frac{1}{4}(p-1)^2\tau -q\tau\right)\\ & & \quad \qquad \times \frac{1}{2\sqrt{\pi\tau}}\int_{0}^{\infty }\left\{\exp\left(\frac{1}{2}(p+1)s\right)\right\}\exp\left(-\frac{(x-s)^2}{4\tau}\right)ds\\ & & \quad -K\exp\left(-\frac{1}{2}(p-1)x-\frac{1}{4}(p-1)^2\tau -q\tau\right)\\ & & \quad \qquad \times \frac{1}{2\sqrt{\pi\tau}}\int_{0}^{\infty }\left\{\exp\left(\frac{1}{2}(p-1)s\right)\right\}\exp\left(-\frac{(x-s)^2}{4\tau}\right)ds\\ & & \quad =C_1 -C_2 \\ \end{eqnarray*}

計算の方針は標準正規分布に持っていくことである。標準正規分布の形にできれば、 数値表によって簡単に確率値が求まるからである。標準正規分布とは次のような形式を持っている。積分の上限下限に注意しておこう。

計算で厄介なのは指数部なのでそこを片付ける。$C_1$について行おう。 \begin{eqnarray*} & & -\frac{1}{2}(p-1)x-\frac{1}{4}(p-1)^2\tau -q\tau+\frac{1}{2}(p+1)s-\frac{(x-s)^2}{4\tau}\\ &=& -\frac{1}{4\tau}\left\{(s-(x+(p+1)\tau))^2-(x+(p+1)\tau)^2+x^2 \right\}\\ & & -\frac{1}{2}(p-1)x-\frac{1}{4}(p-1)^2\tau -q\tau\\ &=& -\frac{1}{4\tau}(s-(x+(p+1)\tau))^2+x+p\tau-q\tau\\ &=& -\frac{1}{4\tau}(s-(x+(p+1)\tau))^2+x-D(T-t) \end{eqnarray*} 従って、 \begin{eqnarray*} C_1&=& Ke^xe^{-D(T-t)}\frac{1}{2\sqrt{\pi\tau}}\int_{0}^{\infty }\exp\left\{-\frac{1}{4\tau}(s-(x+(p+1)\tau))^2 \right\}ds\\ &=& Se^{-D(T-t)}\frac{1}{2\sqrt{\pi\tau}}\int_{0}^{\infty }\exp\left\{-\frac{1}{4\tau}(s-(x+(p+1)\tau))^2 \right\}ds \end{eqnarray*}

$C_1$と$C_2$の相違はみてとればわかるものなので同様の計算を行えば、こちらの方もきれいに消えて、 \[ C_2=Ke^{-r(T-t)}\frac{1}{2\sqrt{\pi\tau}}\int_{0}^{\infty }\exp\left\{-\frac{1}{4\tau}(s-(x+(p-1)\tau))^2 \right\}ds \] となる。

積分を変数変換して標準正規分布に切り替える。これも$C_1$についてやってみよう。 \begin{eqnarray*} & & w_1=\frac{s-(x+(p+1)\tau)}{\sqrt{2\tau}} \quad とおく。\\ & & s= \sqrt{2\tau}w_1+(x+(p+1)\tau)\quad より、\\ & & ds=\sqrt{2\tau}dw_1 \quad となって、積分領域は、\\ & & s>0\quad より、w_1>-\frac{x+(p+1)\tau}{\sqrt{2\tau}}=-dd_1\quad \\ & & 従って、\quad C_1= Se^{-D(T-t)}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-dd_1}^{\infty }e^{-\frac{w_1^2}{2}}dw_1 \\ & &= Se^{-D(T-t)}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty }^{dd_1}e^{-\frac{w_1^2}{2}}dw_1\\ & &= Se^{-D(T-t)}\Phi(dd_1) \end{eqnarray*} 2行目はよく知られた正規分布の偶関数の性質を利用した。

ところで、 \begin{eqnarray*} dd_1&=& \frac{\log\frac{S}{K}+(\frac{r-D}{h}+1)(T-t)h}{\sqrt{2(T-t)h}}\\ &=& \frac{\log\frac{S}{K}+(r-D+\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{(T-t)}} \end{eqnarray*} となっている。

同様のことを$C_2$について行えば、 \[ C_2=Ke^{-r(T-t)}\Phi(dd_2),\quad dd_2=dd_1-\sigma\sqrt{T-t} \] である。これで配当付きオプション価格が求められた。

あらためて慣習に従って表記しておこう。 \[ C= Se^{-D(T-t)}\Phi(dd_1)-Ke^{-r(T-t)}\Phi(dd_2),\quad \Phi\sim N(0,1) \] \[ dd_1=\frac{\log\frac{S}{K}+(r-D+\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{(T-t)}},\quad dd_2=dd_1-\sigma\sqrt{T-t} \]

もちろんさらに複雑にして現実に近い形で、不連続にどんと下がるモデルとすることもできよう。 特に期間内行使の可能なアメリカンオプションでは権利行使評価に影響を与えるため数値計算を含めて研究が進んでいる。 ただ議論が複雑になって相当の準備が必要なので、その説明はまたの機会に譲りたいと思う。















少し一般化した熱伝導方程式とその解は別項で説明する予定である。







































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