オプションヘッジ
次のリスクコントロールの例として、コールオプションのリスクヘッジを原資産で行うことを考えよう。
コールオプションのリスクヘッジを行うためには、その価格の動きを見極める必要がある。 幸いなことにわれわれはオプションの取引条件と原資産に関するわずかな情報があれば、オプションの価格を知ることができる。
もはや幾度と無く見慣れたその公式は次のようなものである。 \[ C_0=S_0\Phi(d_1)-e^{-rt}K\Phi(d_2) \quad ,\quad \Phi(d)\sim N(0,1) \] \[ d_1=\frac{ \log\frac{S_0}{K}+rt+\frac{1}{2}\sigma^2 t}{\sigma \sqrt{t}}\quad ,\quad d_2=d_1-\sigma \sqrt{t} \]
リスクヘッジのためには、資産の動きを反対の動きで相殺するのであるから、変化率を調べればよい。まず次のようなものを求めよう。 \[デルタ：株価変化率：\frac{\partial C}{\partial S} \] \[ガンマ：株価変化率（2階）：\frac{\partial ^2C}{\partial S^2} \] 変化率にはそれぞれギリシャ文字のニックネーム（グリークス）が付いている。
デルタ（$\partial C/\partial S$）
原資産の価格の微小変化に対する、オプション資産価格の変化率$\partial C/\partial S$はデルタと呼ばれる。 ブラック・ショールズの偏微分方程式を複製オートフォリオによって求めるときにも利用した。 \begin{eqnarray*} \frac{\partial C}{\partial S}&=& \Phi(d_1)+S\frac{\partial \Phi(d_1)}{\partial S}-e^{-rt}K\frac{\partial \Phi(d_2)}{\partial S}\\ S\frac{\partial \Phi(d_1)}{\partial S} &=&S\frac{\partial \Phi(d_1)}{\partial d_1} \frac{\partial d_1}{\partial S} \\ &=& S\frac{\partial }{\partial d_1}\left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{d_1 }e^{-\frac{z^2}{2}}dz \right\}\frac{\partial }{\partial S}\left\{ \frac{ \log\frac{S}{K}+rt+\frac{1}{2}\sigma^2 t}{\sigma \sqrt{t}} \right\}\\ &=& S\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{d_1^2}{2}}\frac{1}{\sigma \sqrt{t}S}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma \sqrt{t}}e^{-\frac{d_1^2}{2}} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} e^{-rt}K\frac{\partial \Phi(d_2)}{\partial S}&=& \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma \sqrt{t}}e^{-rt}\frac{K}{S}e^{-\frac{d_2^2}{2}}\\ ところが、& & \frac{K}{S}=e^{-\log\frac{S}{K}}\quad より、\\ e^{-rt}\frac{K}{S}e^{-\frac{d_2^2}{2}}&= & e^{-rt-\log\frac{S}{K}-\frac{d_2^2}{2}}=e^{-\frac{d_1^2}{2}} \end{eqnarray*}
故に、 \begin{eqnarray*} & & \frac{\partial C}{\partial S}=\Phi(d_1) \end{eqnarray*}
ガンマ（$\partial ^2C/\partial S^2$）
デルタがあれば、ガンマは簡単に求められる。 \begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2C}{\partial S^2}&=& \frac{\partial }{\partial S}\left\{ \Phi(d_1) \right\}=\frac{\partial \Phi(d_1)}{\partial d_1}\frac{\partial d_1}{\partial S}\\ &=& \frac{1}{\sigma S\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{d_1^2}{2}} \end{eqnarray*}
故に、 \begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2C}{\partial S^2}&=&\frac{1}{\sigma S\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{d_1^2}{2}}\\ \end{eqnarray*}
忘れてならないのは、ガンマもデルタも時間とともに変化しうることであって、常に一定値を取ることはない。 したがってオプションCのリスクをヘッジするためには、ガンマの値に注意しながら （すなわち、どれぐらい忙しくポートフォリオを組みなおさねばならないかを検討しながら）、 デルタによってヘッジのための株式を増減させることとなる。
デルタの値を常にゼロとするオプションと原資産のポートフォリオは、デルタニュートラルと呼ばれる。
続いて、原資産そのものによるヘッジではないが、次の変化率も求めておこう。それぞれやはりギリシャ文字ニックネームが付いている。 \[ロー：利子率変化率：\frac{\partial C}{\partial r} \] \[ベガ：ボラティリティ変化率：\frac{\partial C}{\partial \sigma} \]
ロー（$\partial C/\partial r$）
ローは利子率の変化に対するオプションの変化率である。利子率の変化をリスクヘッジでどのように考えるかといえば、 例えば、債券$B$を売買して、$(\partial C/\partial r)/(\partial B/\partial r)$とすればよい。
\begin{eqnarray*} \frac{\partial C}{\partial r}&=& S\frac{\partial \Phi(d_1)}{\partial d_1}\frac{\partial d_1}{\partial r}+te^{-rt }K\Phi(d_2)-e^{-rt }K\frac{\partial \Phi(d_2)}{\partial d_2}\frac{\partial d_2}{\partial r}\\ & & \frac{\partial d_1}{\partial r}=\frac{\partial d_2}{\partial r}\quad なので、\\ &=& te^{-rt }K\Phi(d_2)+\frac{\partial d_1}{\partial r}\left\{S\frac{\partial \Phi(d_1)}{\partial d_1}-e^{-rt }K\frac{\partial \Phi(d_2)}{\partial d_2} \right\} \end{eqnarray*}
3行目はデルタでの変換を利用すると括弧の中はゼロとなる。故に、 \begin{eqnarray*} \frac{\partial C}{\partial r}&=& te^{-rt }K\Phi(d_2) \end{eqnarray*}
ベガ（$\partial C/\partial \sigma$）
本来ボラティリティは推測せざるを得ないパラメータであるから、そのヘッジを考えることはあまりないが、 重要であることは間違いないので求めておこう。
\begin{eqnarray*} \frac{\partial C}{\partial \sigma}&=& S\frac{\partial \Phi(d_1)}{\partial d_1}\frac{\partial d_1}{\partial \sigma}-e^{-rt }K\frac{\partial \Phi(d_2)}{\partial d_2}\frac{\partial d_2}{\partial \sigma}\\ & & \frac{\partial \Phi(d_1)}{\partial d_1}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{d_1^2}{2}} \quad,\quad \frac{\partial \Phi(d_2)}{\partial d_2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{d_2^2}{2}}\quad,\\ & & \frac{\partial d_2}{\partial \sigma}=\frac{\partial d_1}{\partial \sigma}-\sqrt{t}\quad より、\\ &=& S\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{d_1^2}{2}}\frac{\partial d_1}{\partial \sigma}-e^{-rt }K\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{d_2^2}{2}}\left( \frac{\partial d_1}{\partial \sigma}-\sqrt{t} \right)\\ &=& \frac{S}{\sqrt{2\pi }}\frac{\partial d_1}{\partial \sigma}\left( e^{-\frac{d_1^2}{2}}-e^{-rt }\frac{K}{S}e^{-\frac{d_2^2}{2}} \right)+e^{-rt }K\sqrt{t}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{d_2^2}{2}}\\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi }}S\sqrt{t}\left( e^{-rt }\frac{K}{S}e^{-\frac{d_2^2}{2}} \right) \end{eqnarray*} 3行目の等号はデルタでの変換を利用すると括弧内がゼロとなる。4行目の等号もデルタでの変換を利用する。
故に、 \begin{eqnarray*} \frac{\partial C}{\partial \sigma}&=& \frac{1}{\sqrt{2\pi }}S\sqrt{t}e^{-\frac{d_1^2}{2}} \end{eqnarray*} となる。
これで一応の変数に対するオプションの変化率が求められたので、これらを利用して、リスクヘッジを行う。 繰り返しとなるが、これらはいずれも定常的ではないので、刻々と見直しが必要となり、 大きく変化すればポートフォリオの組み直しが発生する。
計算ばかりが続いたので、残る時間$t$に対する変化率は、次の項で求めよう。