連続モデルの超過収益率
原資産の超過収益率
引き続いて連続モデルでのリスク当り超過収益率を求めよう。 やはり微小時間$dt$の元で期待収益率$\mu$とリスク$\sigma$を求めて、安全資産利子率$r$とによって、 \[ M=(\mu-r)/\sigma \] を計算することで得る。
連続モデルは原資産の微小変動は次のように表されていた。 \[ dS=\mu Sdt+\sigma SdW_t \] である。
まず期待収益率は、ウィ－ナー過程の平均はゼロであるから、 \begin{eqnarray*} E[(S_{t+dt}-S_t)/S_t] &= &E[dS/S] \\ &= &E[\mu dt + \sigma dW_t] \\ &= &\mu dt \end{eqnarray*} すなわち期待収益率は、$\mu dt$と簡単に求められる。
続いてリスクを求めよう。 \begin{eqnarray*} V[dS/S] &= &V[\mu dt + \sigma dW_t] \\ &= &E[\mu dt + \sigma dW_t-\mu dt]^2 \\ &= &E[(\sigma dW_t)^2] \\ &= &E[\sigma^2dt] \\ &= &\sigma^2dt \end{eqnarray*} 期待収益率の分散（リスク）は、$\sigma^2dt$となる。最後の行は伊藤の公式$dW^2=dt$を利用することで確率変数でなくしている。 （期待収益率の算出を含めて、このような証明は数学的に正確でないという指摘もあるが、分かりやすさを重視して形式的に行った。）
従って、この資産のリスク当りの超過収益率$M(S)$は、 \[M(S)= \frac{\mu -r}{\sigma}\sqrt{dt} \] となっている。
コール・オプションの超過収益率
さらに続けてこの資産の派生証券となるコールオプションのリスク当り超過収益率を求めてみよう。
オプションは原資産の関数であるから$C(t,S_t)$とおくことで、伊藤の公式を使って、その微小変化は、 \[dC_t=\left(\frac{\partial C_t}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\frac{\partial ^2C_t}{\partial S_t^2} \right)dt +\frac{\partial C_t}{\partial S_t}dS_t \] である。
$dS=\mu Sdt+\sigma SdW_t$を代入すると、 \[ dC_t=\left(\frac{\partial C_t}{\partial t}+\mu S_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}+\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\frac{\partial ^2C_t}{\partial S_t^2} \right)dt+\sigma S_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}dW_t \] となる。
原資産と同様の方法で求めよう。期待収益率は、 \begin{eqnarray*} E\left[\frac{dC}{C} \right]&=&E\left[\frac{1}{C_t}\left\{ \left(\frac{\partial C_t}{\partial t}+\mu S_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}+\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\frac{\partial ^2C_t}{\partial S_t^2} \right)dt+\sigma S_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}dW_t \right\} \right]\\ &=&\frac{1}{C_t}\left\{ \left(\frac{\partial C_t}{\partial t}+\mu S_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}+\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\frac{\partial ^2C_t}{\partial S_t^2} \right)dt \right\} =C_{\mu} \end{eqnarray*} 最後の行の最右辺は期待収益率の式がさらに簡略化できないので$C_{\mu}$と置いたということである。
続いて、リスクは、 \begin{eqnarray*} V\left[\frac{dC}{C} \right]&=&V\left[\frac{1}{C_t}\left\{ \left(\frac{\partial C_t}{\partial t}+\mu S_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}+\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\frac{\partial ^2C_t}{\partial S_t^2} \right)dt+\sigma S_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}dW_t \right\} \right]\\ &=&V\left[\frac{1}{C_t}\left\{ \sigma S_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}dW_t \right\} \right]= E\left[\frac{1}{C_t}\left\{ \sigma S_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}dW_t \right\} \right]^2 \end{eqnarray*} となるが、2乗を期待値の中に入れて、$dW^2=dt$ とすれば不確実性は消失するので、 \begin{eqnarray*} V\left[\frac{dC}{C} \right] &=&\left\{ \sigma \frac{S_t}{C_t}\frac{\partial C_t}{\partial S_t} \right\}^2dt\\ C_{\sigma} &=&\sigma \frac{S_t}{C_t}\frac{\partial C_t}{\partial S_t}\sqrt{dt} \end{eqnarray*} と求められる。
では連続モデルでのオプションのリスク当りの超過収益率$M(C)$を求めよう。$C$と$dt$を払って、 \begin{eqnarray*} M(C)&=&\frac{C_{\mu}-rdt}{C_{\sigma}}\\ &=&\left\{\frac{\left(\frac{\partial C_t}{\partial t}+\mu S_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}+\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\frac{\partial ^2C_t}{\partial S_t^2} \right) -rC_t}{\sigma S_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}}\right\}\sqrt{dt} \end{eqnarray*} となるが、括弧内の分子については、ブラックショールズの偏微分方程式が成り立っているので、 \[rC_t=\frac{\partial C_t}{\partial t}+rS_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}+\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\frac{\partial ^2C_t}{\partial S_t^2} \] を代入すると、 \begin{eqnarray*} M(C)&=&\left\{ \frac{\mu S_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}-rS_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}}{\sigma S_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}} \right\}\sqrt{dt}\\ &=&\left( \frac{\mu -r}{\sigma} \right)\sqrt{dt} \end{eqnarray*} によって、やはり原資産のリスク当り超過収益率と同じものになった。
リスク当り超過収益率を求めるにあたって利用したことはブラック・ショールズの偏微分方程式であって、 これは複製ポートフォリオすなわちリスク中立確率の存在を仮定しただけである。