連続株価のボラティリティ
くどいけれども議論してきたブラック・ショールズ式を挙げておこう。
\[ C_0=S_0\Phi(d_1)-e^{-rt}K\Phi(d_2) \quad ,\quad \Phi(d)\sim N(0,1) \] \[ d_1=\frac{ \log\frac{S_0}{K}+rt+\frac{1}{2}\sigma^2 t}{\sigma \sqrt{t}}\quad ,\quad d_2=d_1-\sigma \sqrt{t} \]問題はただ一つの不確実パラメータであるボラティリティ$\sigma$に、どのような値を与えるかということである。 \[ C_0=C(\sigma) \]
いま$t$を将来の何処かの時点として、その時点$t$の原資産の収益率とリスクをなんらかの手段で予測したとする。 ブラック・ショールズ式のパラメータを与えるもっとも簡便な方法はこの値をそのまま利用することであろう。
現実にありそうな状況としてブラックとショールズが出発した連続株価モデルを用いて、離散型の推定値を当てはめてみよう。 原資産は真の値$\mu,\sigma$に従って、 \[ S_t=S_0\exp\left\{\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma^2\right)t +\sigma\sqrt{t}z\right\} \] となることが仮定されている。
$\sqrt{t}z=W_t$で、$W_{t+dt}-W_t=dW_t\sim N(0,dt)$であるから、 \[ E[\exp\left\{\sigma (W_{t+dt}-W_t)\right\}]=\exp\left(\frac{1}{2}\sigma^2 dt\right) \] を得ておけば、 \begin{eqnarray*} E\left[\frac{S_{t+dt}-S_t}{S_t}\right] &= &\exp\left(\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)dt\right)E\left[\exp(\sigma(W_{t+dt}-W_t)) \right]-1 \\ &= &\exp(\mu dt)-1 \\ &\sim &\mu dt \end{eqnarray*} となる。単純収益率の期待値は、連続株価の収益率$\mu dt$と近似していることは分かる。
ところが同様に計算すると、 \begin{eqnarray*} V\left[\frac{S_{t+dt}-S_t}{S_t} \right] &=&\exp\left\{2\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)dt\right\}E\left[\exp\left\{2\sigma(W_{t+dt}-W_t)\right\}-\exp\left\{\sigma^2dt\right\}\right] \\ &=&\exp(2\mu dt)(\exp(\sigma^2dt)-1) \end{eqnarray*} であるから、単純収益率$(S_{t+dt}-St)/S_t$の標準偏差は株価のボラティリティ$\sigma\sqrt{dt}$には近似しない。
このような議論に注意を払わないで、ブラック・ショールズ式の$\sigma$に$\sqrt{V(\mu dt)}$を代入すれば、 真の値$\sigma$への近似が期待できるものとは明らかに異なる期待値を使うこととなる。
なんとか頑張って連続株価モデルと整合性を取るなら、$E$と$V$の二つの連立方程式を解いて得られる、 \begin{eqnarray*} \sigma^2&=&\frac{1}{dt}\log \left(1+\frac{V(\mu_t)}{(1+E(\mu_t))^2}\right) \\ \mu_t&=& \frac{S_{t+dt}-S_t}{S_t} \end{eqnarray*} という二つの解の一方から、 \[ \sigma=\left[ \frac{1}{dt}\log\left(1+\frac{V(\mu_t)}{(1+E(\mu_t))^2} \right)\right]^{1/2} \] となる値を採用すべきであろう。
この解ですら、$\log(1+x)\sim x$という近似で考えても、 \[ V(\mu_t)=(1+E(\mu_t))^2\sigma^2 dt \] より、 \[ \sqrt{V(\mu_t)}=(1+E(\mu_t))\sigma \sqrt{dt} \] であるから、収益率分の調整がかかって、連続モデルにおける近似の差では済まない。
ちなみに$dt=1$、$E(\mu_t)=0.14$、$\sqrt{V(\mu_t)}=0.36$、$V(\mu_t)=0.1296$ であるとすると、 \begin{eqnarray*} \sigma&=& 0.308312 \\ \sigma^2&=&0.095058 \end{eqnarray*} となる。
先のグラフ作成で用いた現在価格5000円、行使価格5300円の1年のコールオプションでは、$\sigma=0.36$では624円、 $\sigma=0.3083$では521円という差がでる。理論的な整合性を尊重するなら、連立方程式の式の値を利用するほうが好ましい。
では、対数収益率$\log (S_{t+dt}/S_t)$ではどうなるだろうか。今度はさきにボラティリティをやってみよう。 \begin{eqnarray*} V\left[\log \frac{S_{t+dt}}{S_t} \right]&=& V\left[\log S_{t+dt}-\log S_t \right] \\ &=&V\left[\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)dt+\sigma( W_{t+dt}-W_t) \right] \\ &=&\sigma^2 dt \end{eqnarray*} として期待するボラティリティに一致する。
まさにこの計算が、ボラティリティの推定に当たって対数収益率をとることが指定される理由となっていることは、 どこかに覚えておかれるとよいだろう。
ところがこの路線で収益率を考えると、 \begin{eqnarray*} E\left[\log \frac{S_{t+dt}}{S_t} \right] &=&E\left[\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)dt+\sigma( W_{t+dt}-W_t)\right] \\ &=&\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma^2\right)dt \end{eqnarray*} となって、確率項の影響によって今度はリスクの半分だけ収益率を過小評価する。
モデルや前提とする理論と、実際の計算に使用する標本をどのようにとらえるかということは、 実はデリケートな問題となることが多少なりとも理解いただけるであろうか。