ホー・リー（Hoo・Lee）ショートレートモデル
前項の基礎的なモデルは、これまで培ったファイナンスとデリバティブの常識的な設定を使って、難しそうなところは目を瞑り、 適当に都合よく利用してモデル式を求めた。ここから、より現実に近づけるために研究されたいくつかのモデルを紹介していこう。
これらはショートレートに主眼がおかれているため、ショートレートモデルと呼ばれる範疇に属する。 いずれにしても、前項で指摘した金利リスクの市場価格をどう考えるかが、モデルの有り様を決定するのである。
一つ目としてホー(T.Hoo)とリー(S.Lee)によるモデルについて説明しよう。自然確率の元での金利の微小変化を、 \[ dr_t=mdt+sdW_t \] としてスタートさせることは同一である。
そして、ゼロクーポン債の微小変化を対数正規分布によって、 \[ dB_t=\mu B_tdt+\sigma B_tdW_t \] とする。この微小変化が対数正規分布するという仮定が先の項に述べた基礎的なモデルとの相違の一つである。
この仮定はもちろん株価と同様に債券も価格は決して負とならないという常識の現われと考えればよいが、 さらにつぎのように裏付けて考えることもできよう。
基礎的なモデルでは、方程式を解くにあたって債券価格が従う方程式を、 \[B_t=e^{\alpha(t)-\beta(t)r_t} \] とおくことで解を得た。
そして、 \[ \frac{\partial B_t}{\partial r_t}=-\beta B_t \] も求めてある。価格の微小変化は伊藤の補題で係数を簡略化して、 \[dB_t=\mu dt+\sigma dW_t \] として進めてあるが、金利リスクの市場価格によって、 \[\mu= B_t r_t+\sigma\lambda \] であるから、これを代入すると、 \[dB_t=(B r_t+\sigma\lambda)dt+\sigma dW_t \]
そして、$\sigma=s(\partial B_t/\partial r_t)$なので、 \[dB_t=(B_t r_t+s\frac{\partial B_t}{\partial r_t}\lambda)dt+s\frac{\partial B_t}{\partial r_t} dW_t \] となり、この式の偏微分の項を先ほどのものと置き換えると、 \[dB_t=(r_t-s\beta \lambda)B_tdt-s\beta B_t dW_t \] となり、この形式は改めて眺めれば、 \[ dB_t=\phi B_tdt+\psi B_tdW_t \] となっているともいえるのである。債券価格決定の項を思い出されるとよい。
債券価格における対数正規分布の仮定は、価格決定式が指数関数を前提としているために、決して特別で不思議なものではないのである。
さて元に戻ろう。一般的な価格の式を$B_t=B_t(t,r_t)$として金利のデリバティブであるから伊藤の補題によって、 \[ dB_t=\frac{\partial B_t}{\partial t}dt+\frac{\partial B_t}{\partial r_t}dr_t+\frac{1}{2}\frac{\partial ^2B_t}{\partial r_t^2}(dr_t)^2 \] である。
ここに金利の微小変化$dr_t$を代入し整理する。 \[dB_t=\left(\frac{\partial B_t}{\partial t}+\frac{1}{2}s^2\frac{\partial ^2B_t}{\partial r_t^2}+m\frac{\partial B_t}{\partial r_t} \right)dt+s\frac{\partial B_t}{\partial r_t}dW_t \] ところが、この微小変化は、冒頭で前提とした対数正規分布に従う微小変化の価格式 \[ dB_t=\mu B_tdt+\sigma B_tdW_t \] と同一であるから、その係数が等しいとおけば、2本の連立方程式が、 \[ \begin{array}{lll} \mu B_t&=&\displaystyle \frac{\partial B_t}{\partial t}+\frac{1}{2}s^2\frac{\partial ^2B_t}{\partial r_t^2}+m\frac{\partial B_t}{\partial r_t} \\ \sigma B_t&=&\displaystyle s\frac{\partial B_t}{\partial r_t} \end{array} \] 成立していることになる。金利とゼロクーポン債の変動がこの段階でリンクすることになる。ここで少し止めておく。
金利リスクの市場価格を求めておこう。債券の微小変動の仮定が変わったから金利リスクの市場価格も変化する。 連立方程式を解くためにもこの確認が必要となる。
異なるドリフトとリスクを持つ二つのゼロクーポン債$B^1,B^2$が在るとしよう。するとそれぞれの微小変化は、 \[ dB^1=\mu_1 B^1dt+\sigma_1 B^1dW_t \] \[ dB^2=\mu_2 B^2dt+\sigma_2 B^2dW_t \] である。この二つの債券をいつものように$w_1,w_2$と組み合わせてポートフォリオ$V$を構築する。 \[ V=w_1B^1+w_2B^2 \]
したがってポートフォリオの微小変化は、 \begin{eqnarray*} dV &= & w_1dB^1+w_2dB^2 \\ &= &w_1(\mu_1 B^1dt+\sigma_1 B^1dW_t)+w_2(\mu_2 B^2dt+\sigma_2 B^2dW_t) \\ &= &(w_1\mu_1B^1+w_2\mu_2B^2)dt+(w_1\sigma_1B^1+w_2\sigma_2B^2)dW_t \end{eqnarray*} そして、 \[ w_1=1,\quad w_2=-\frac{\sigma_1B^1}{\sigma_2B^2} \] とおくと不確実性はゼロとなるので、無リスクとなる。無リスクの資産は所定の利子率$r$によって、 \[ (\mu_1B^1-\frac{\sigma_1B^1}{\sigma_2B^2}\mu_2B^2)dt=Vrdt=r\left(B^1-\frac{\sigma_1B^1}{\sigma_2B^2}B^2 \right)dt \] となるから、左端と右端の式を整理すれば、 \[ \frac{\mu_1-r}{\sigma_1}=\frac{\mu_2-r}{\sigma_2} \] が得られる。
二つの債券は任意であるから、一般に、無裁定の市場では、ゼロクーポン債について、 \[ \frac{\mu-r}{\sigma}=\lambda\quad (一定)\] が成立していると考えられる。これを金利リスクの市場価格とする。基礎的なモデルとの相違を注意されたい。
ホーとリー（HoとLee）は、市場が無裁定となっており金利リスクの市場価格$\lambda$が得られたとして、 この金利リスクの市場価格を、時間の関数$\theta_t$によって、 \[ \lambda=\frac{\mu -r_t}{\sigma}=\frac{m-\theta_t}{s} \] とした。
すると、先ほどの2本の連立方程式の2番目の式を使って$\sigma$を求めて市場価格の式に代入すると、 \begin{eqnarray*} & & \frac{\mu-r_t}{\frac{s}{B_t}\frac{\partial B_t}{\partial r_t}}=\frac{m-\theta_t}{s} \quad を整理して、\\ & & \mu B_t=\left(m-\theta_t \right)\frac{\partial B_t}{\partial r_t}+r_tB_t \end{eqnarray*} これを1番目の式の左辺として代入し整理する、 \[ \frac{\partial B_t}{\partial t}+\theta_t\frac{\partial B_t}{\partial r_t}+\frac{1}{2}s^2\frac{\partial ^2B_t}{\partial r_t^2}-r_tB_t=0 \] となって、ホー・リーモデルにおけるゼロクーポン債が満足すべき偏微分方程式が求められた。境界条件は、$B_T=1$である。
リスク中立確率におけるウィーナー過程を$X_t$とすれば、金利の微小変化は、 \[dr_t=\theta_tdt+sdX_t \qquad (on\quad q) \] と考えていることになる。この式は、$dr_t=r_{t+dt}-r_t$とすれば、 \[ r_{t+dt}=r_t+\theta_tdt+sdX_t \] であるから、ホー・リーモデルは、来期の金利が今期の金利に、時間に依存する定数と不確実性を加えた関係となることを示している。
従って将来金利は正規分布をなすから、場合によっては負となる可能性が排除できないという問題がある。
また、金利の微小変化に現在の金利水準が含まれていないことは、10％の水準での変化も0.1％の水準の変化も同一となって、 現実経済の実証面からは受け入れがたいという指摘がある。
では続けて偏微分方程式を解く。 \[ B_t=e^{\alpha(t)-\beta(t)r_t} \] と仮定し、偏微分を取る。 \[\frac{\partial B_t}{\partial t} = \left(\frac{\partial \alpha}{\partial t}-r_t\frac{\partial \beta}{\partial t} \right)B_t, \quad \frac{\partial B_t}{\partial r_t} = -\beta B_t, \quad \frac{\partial ^2B_t}{\partial r_t^2} = \beta^2B_t \] もとの方程式に代入すると、 \[\left(\frac{\partial \alpha}{\partial t}-r_t\frac{\partial \beta}{\partial t} \right)B_t-\theta\beta B_t+\frac{1}{2}s^2\beta^2B_t-r_tB_t=0 \] $r_t$とそれ以外の項で整理する。 \[-\left(\frac{\partial \beta}{\partial t}+1 \right)r_t+\left(\frac{\partial \alpha}{\partial t}-\theta\beta+\frac{1}{2}s^2\beta^2 \right)=0 \] 故に、2本の連立方程式 \begin{eqnarray*} & & \frac{\partial \beta}{\partial t}+1=0 \\ & & \frac{\partial \alpha}{\partial t}-\theta\beta+\frac{1}{2}s^2\beta^2=0 \end{eqnarray*} が得られる。これをさらに解く。境界条件から、$t=T$ならば$B_T=1$なので、$\alpha(T)=\beta(T)=0$であるから、 \[ \beta=T-t \] は直ちに得られるので、 \[ \alpha=-\int_t^T(T-s)\theta_sds+\frac{1}{6}s^2(T-t)^3 \] となる。$\theta$が$t$の関数であるため、形式を特定しないと積分ははずすことができない。
リスク中立確率のもとでのホー・リーモデルにおける償還額1のゼロクーポン債の現在価格は、 \begin{eqnarray*} B_t &=& \exp\left\{-\int_t^T(T-s)\theta_sds+\frac{1}{6}s^2(T-t)^3-r_t(T-t) \right\} \\ ただし、& & \\ & & dr_t = \theta_t dt+sdX_t\quad （on\quad q：リスク中立確率） \\ & & \theta_t はtの関数、s は所与 \end{eqnarray*} と得ることができる。$B_T=1$は目視で確認できる。
さらに$\log B_t\vert _{t=0}=\log B_0$として$T$で2階編微分する。 \begin{eqnarray*} \frac{\partial \log B_0}{\partial T} &= &-\int_0^T\theta_sds +\frac{1}{2}s^2T^2-r_t \\ \frac{\partial ^2\log B_0}{\partial T^2} &= & -\theta_T+s^2T\qquad 故に、\\ \theta_T &=&s^2T-\frac{\partial ^2\log B_0}{\partial T^2} \end{eqnarray*} となるので、現実のデータの中から数値的に$(\partial ^2\log B_0/\partial T^2)$を得ることができれば、 比較的簡便に適当な$\theta$を見つけることができる。
この式はフォワードレートを使って、 \[\theta_T = s^2T+\frac{\partial f(0,T)}{\partial T} \] と表現されることもある。
この式をいっそう大胆に扱えば、ボラティリティの2乗は小さいとして第1項を無視して、 $\theta$はフォワードレートの傾きに等しいと近似できることになる。
続けて価格と等価な関係にあるフォワードレートとイールドを求めておこう。フォワードレートは上と同様に、 \begin{eqnarray*} & & f(t,T) = -\frac{\partial \log B_t}{\partial T} \\ &= &-\frac{\partial }{\partial T}\left\{-\int_t^T(T-s)\theta_sds+\frac{1}{6}s^2(T-t)^3-r_t(T-t) \right\} \\ &= & r_t-\frac{1}{2}s^2(T-t)^2+\int_t^T\theta_sds \end{eqnarray*} となり、イールドは、 \begin{eqnarray*} & & y(t,T) = -\frac{1}{T-t}\log B_t \\ &= &-\frac{1}{T-t}\left\{-\int_t^T(T-s)\theta_sds+\frac{1}{6}s^2(T-t)^3-r_t(T-t) \right\} \\ &= &r_t-\frac{1}{6}s^2(T-t)^2+\frac{1}{T-t}\int_t^T(T-s)\theta_sds \end{eqnarray*} である。確認のために、 \begin{eqnarray*} (T-t)\frac{\partial y(t,T)}{\partial T} &= &-\frac{1}{3}s^2(T-t)^2+\int_t^T\theta_sds-\frac{1}{T-t}\int_t^T(T-s)\theta_sds \\ \end{eqnarray*} を求めれば、 \[ f(t,T)=y(t,T)+(T-t)\frac{\partial y(t,T)}{\partial T} \] が成立していることもチェックできる。それぞれの式から価格$B$の式を求めてみるとよいだろう。