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ハシェック（Vasicek）ショートレートモデル

続いてハシェック（O.Vasicek）によるモデルを説明しよう。まず、ゼロクーポン債の価格$B_t$は対数正規分布しているとする。 すなわち、ウィーナー過程$W_t$を利用して、 \[ dB_t=\mu B_tdt+\sigma B_tdW_t \] とあらわす。

そして金利に不確実性を導入する。われわれが期待する自然確率の元で金利の微小変化が、 ドリフト$m$(変動率)と債券と同一のウィーナー過程によって、 \[ dr_t=mdt+sdW_t \] に従っているとする。

するとホー・リーモデルと同様に2本の連立方程式が、 \[ \begin{array}{lll} \mu B_t&=&\displaystyle \frac{\partial B_t}{\partial t}+\frac{1}{2}s^2\frac{\partial ^2B_t}{\partial r_t^2}+m\frac{\partial B_t}{\partial r_t} \\ \sigma B_t&=&\displaystyle s\frac{\partial B_t}{\partial r_t} \end{array} \] 得られる。

次に市場が無裁定であることを金利リスクの市場価格が一定で、 \[ \frac{\mu-r}{\sigma}=\lambda\quad (一定)\] が成立していると考える。

ハシェック（O.Vasicek）はこの金利リスクの市場価格を、定数$a,b$によって、 \[ \lambda=\frac{\mu -r_t}{\sigma}=\frac{m-a(b-r_t)}{s} \] となると考えたのである。

すなわちわれわれの期待に含まれる金利変動の超過部分のリスク一単位当たりとしたものが、 無裁定の市場では債券のリスク当り超過収益率と等しくなるとするのである。言い換えれば、リスク中立確率の期待のもとでは、 金利は$a(b-r_t)$というドリフトとなることとしたのである。

2番目の方程式を使って$\sigma$を求めて市場価格の式に代入すると、 \begin{eqnarray*} & & \frac{\mu-r_t}{\frac{s}{B_t}\frac{\partial B_t}{\partial r_t}}=\frac{m-a(b-r_t)}{s} \quad を整理して、\\ & & \mu B_t=\left(m-a(b-r_t) \right)\frac{\partial B_t}{\partial r_t}+r_tB_t \end{eqnarray*} これを1番目の方程式の左辺として代入し整理する、 \[ \frac{\partial B_t}{\partial t}+a(b-r_t)\frac{\partial B_t}{\partial r_t}+\frac{1}{2}s^2\frac{\partial ^2B_t}{\partial r_t^2}-r_tB_t=0 \] となって、ハシェックのモデルにおけるゼロクーポン債が満足すべき偏微分方程式が求められた。境界条件は、$B_T=1$である。

金利の微小変動はリスク中立確率の元ではどうなっているのだろうか。それは無リスクであるときのドリフトが$a(b-r_t)$であるとしているのであるから、 リスク中立確率におけるウィーナー過程を$X_t$とすれば \[dr_t=a(b-r_t)dt+sdX_t \] と仮定されていることになる。

金利$r_t$の不確実性の反映は、いろんな方法が提案されているが、有名なハシェックによるモデルとはふつうこの確率微分方程式を指す。

もとの自然確率のもとでの微小変化の式から、金利リスクの市場価格を利用して、ラドン・ニコディム微分によって、 \[ dW_t=dX_t-\left(\frac{m-a(b-r_t)}{s} \right)dt \] という別のウィーナー過程を定義すれば、テクニカルな条件を確認することでギルサノフの定理によってハシェックモデルを求めることもできる。

これは伊藤の補題で触れることのあるオルンシュタイン・ウーレンベック過程、あるいは平均回帰過程と言われるもので、 積分形式で書けば、ランジバン方程式とも呼ばれる。

ハシェックが無リスクでの金利と仮定したドリフト$a(b-r_t)$とは何であろうか。

金利が長期的に一定の値に回帰する傾向を持つことは実証分析ではよく紹介される事柄であるが、 ハシェックのモデルはその性質を取り入れたものとなっている。$b$が回帰する長期平均、$a$は回帰する速さ（率）を表すと見ればよい。

このことは直観的に解釈できる。$r_t$が現在の金利水準とすれば、$dr_t$は次の将来への微小変化となる。 不確実項を無視して考えると、もし$b\gt r_t$であるならば、$dr_t\gt 0$となり、微小変化は金利を押し上げる。

ところが$b\lt r_t$ならば、その逆となり金利を減少させようとするだろう。 すなわち現在の金利水準と本来の水準と目される値との乖離を常に埋めようとする力が働くようなモデルとなっている。

この確率微分方程式はブラック・ショールズの株価と同様にいちおう解ける。その解によっても平均回帰性と呼ばれるこの性質は確認できる。

株価では$f=\log S$とした媒介関数を、 \[ f(t,r_t)=e^{at}r_t \] とおくことがアイデアとなる。$t=0$で$f=r_0$とする。伊藤の補題を使って、 \begin{eqnarray*} df &= &\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial r}dr+\frac{1}{2}\frac{\partial ^2f}{\partial r^2}(dr)^2 \\ & &\frac{\partial f}{\partial t}=ae^{at}r_t,\quad \frac{\partial f}{\partial r}=e^{at},\quad \frac{\partial ^2f}{\partial r^2}=0\quad を代入、 \\ &= & ae^{at}r_tdt+e^{at}\left(a(b-r_t)dt+sdX_t \right) \\ &= & abe^{at}dt+se^{at}dX_t \\ & & 両辺を(伊藤)積分して、\\ e^{at}r_t&=& \int_0^tabe^{au}du+\int_0^tse^{au}dX_u+r_0 \\ r_t&=& e^{-at}\left\{ r_0+b(e^{at}-1)+s\int_0^te^{au}dX_u \right\} \end{eqnarray*} となる。

積分記号が残ったままなので株価のようにピンと来ないかもしれないが、大域的な解が求められる。

積分は平均ゼロのランダムウォークにリスクと指数をかけたものの総和で、指数そのものの増え方に比べてたかだかと考えれば、 $t$が大きく長期となると、$r_t$が$b$に近づいていくことが見てとれるであろう。

そしてそのスピードは$a$の大きさに依存することもわかる。しかし期間が短ければランダムな増減は無視できないものがあり、 必ずしも常に$r_t\gt 0$がこの式では保証されないという悩みを持つ。

では偏微分方程式を解いてみよう。やはり、 \[ B_t=e^{\alpha(t)-\beta(t)r_t} \] と表されると仮定する。偏微分をとって、 \[\frac{\partial B_t}{\partial t} = \left(\frac{\partial \alpha}{\partial t}-r_t\frac{\partial \beta}{\partial t} \right)B_t, \quad \frac{\partial B_t}{\partial r_t} = -\beta B_t, \quad \frac{\partial ^2B_t}{\partial r_t^2} = \beta^2B_t\] もとの方程式に代入し整理する。 \begin{eqnarray*} & &\left(\frac{\partial \alpha}{\partial t}-r_t\frac{\partial \beta}{\partial t} \right)B_t+\frac{1}{2}s^2 \beta^2B_t+a(b-r_t)(-\beta B_t)-r_tB_t=0\\ & &-\left(\frac{\partial \beta}{\partial t}-a\beta+1 \right)r_t+\left(\frac{\partial \alpha}{\partial t}-ab\beta+\frac{1}{2}s^2\beta^2 \right)=0 \end{eqnarray*} この方程式が常に成立するもっとも確実な条件は、2本の連立方程式 \begin{eqnarray*} & & \frac{\partial \beta}{\partial t}-a\beta+1=0 \\ & & \frac{\partial \alpha}{\partial t}-ab\beta+\frac{1}{2}s^2\beta^2=0 \end{eqnarray*} が成立することである。ひとつひとつは定数係数の線型常微分方程式である。まず一つ目の方程式は、いつものように最初は同次形として、 \begin{eqnarray*} & & \beta'-a\beta=0 \\ & & \log \beta=at+C \\ & & \beta=e^{at}C_0 \end{eqnarray*} 次に新たな関数$w$を使って定数変化法に持ち込んで、 \begin{eqnarray*} & & \beta=we^{at}\quad とおくと、\\ & & \beta'=w'e^{at}+wae^{at}=a\beta-1=awe^{at}-1\quad となるので、\\ & & w'=-e^{-at}\quad を得るから、両辺を積分すると、\\ & & w=\frac{1}{a}e^{-at}+C_1 \quad 故に、\\ & & \beta=\left(\frac{1}{a}e^{-at}+C_1 \right)e^{at}\\ & & \quad =\frac{1}{a}+C_1e^{at} \end{eqnarray*} 境界条件から積分定数を求めよう。$t=T$ならば$B_T=1$なので、$\alpha(T)=\beta(T)=0$である。 \begin{eqnarray*} & & \beta(T)=\frac{1}{a}+C_1e^{aT}=0 \quad より、\\ & & C_1=-\frac{1}{a}e^{-aT}\quad を代入して、\\ & & \beta(t)=\frac{1}{a}\left(1-e^{-a(T-t)} \right) \end{eqnarray*} が求められる。

続いて二つ目の方程式を解く。先ほど得られた$\beta$を利用する。 \begin{eqnarray*} & & \frac{\partial \alpha}{\partial t} = ab\beta-\frac{1}{2}s^2\beta^2 \\ & & \int\frac{\partial \alpha}{\partial t}dt= \int \left(ab\beta-\frac{1}{2}s^2\beta^2 \right)dt+C \\ \alpha &= & b\int(1-e^{-a(T-t)})dt-\frac{s^2}{2a^2}\int(1-e^{-a(T-t)})^2dt+C \\ & & \int e^{-a(T-t)}dt=\frac{1}{a}e^{-a(T-t)}\quad なので、\\ &= & b\left(t-\frac{1}{a}e^{-a(T-t)}\right)-\frac{s^2}{2a^2}\left(t-\frac{2}{a}e^{-a(T-t)}+\frac{1}{2a}e^{-2a(T-t)}\right)+C \\ &= & \left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)t-\left(b-\frac{s^2}{a^2} \right)\frac{1}{a}e^{-a(T-t)}-\frac{s^2}{4a}\left(\frac{1}{a}e^{-a(T-t)} \right)^2+C \end{eqnarray*} 積分定数を特定しよう。$t=T$のとき$\alpha=0$を利用して、 \begin{eqnarray*} \left.\alpha \right|_{t=T}&=& \left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)T-\left(b-\frac{s^2}{a^2} \right)\frac{1}{a}-\frac{s^2}{4a}\frac{1}{a^2}+C=0 \quad より、\\ C &=& -\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)T+\left(b-\frac{s^2}{a^2} \right)\frac{1}{a}+\frac{s^2}{4a}\frac{1}{a^2} \end{eqnarray*} もと$\alpha$の式に代入する。 \begin{eqnarray*} \alpha &=& \left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)(t-T)+\left(b-\frac{s^2}{a^2} \right)\frac{1}{a}\left(1-e^{-a(T-t)}\right)+\frac{s^2}{4a}\frac{1}{a^2}\left(1-e^{-2a(T-t)} \right) \\ & & ここで、\\ & & 1-e^{-2a(T-t)} =-\left(1-e^{-a(T-t)}\right)^2+2\left(1-e^{-a(T-t)} \right) \\ & & を利用して、最後に\beta と置き換えると、\\ \alpha&=& -\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)(T-t)+\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)\beta-\frac{s^2}{4a}\beta^2 \end{eqnarray*} となる。

したがって、リスク中立確率のもとでのハシェックモデルにおける償還額1のゼロクーポン債の現在価格は、 \begin{eqnarray*} B_t &=& \exp\left\{-\beta r_t+\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)\left(\beta -(T-t)\right)-\frac{s^2}{4a}\beta^2 \right\} \\ ただし、& & \\ & & \beta = \frac{1}{a}\left(1-e^{-a(T-t)}\right) \\ & & dr_t = a(b-r_t)dt+sdX_t\quad （on\quad q：リスク中立確率） \\ & & a.b.s は所与 \end{eqnarray*} と得ることができる。$B_T=1$は直ちに確認できる。$t=0$として満期$T$の関数と考える次の表現もある。 \begin{eqnarray*} B_0 &=& \exp\left\{\frac{1}{a}\left(b-\frac{s^2}{2a^2}-r_0 \right)\hat{\beta} -\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)T-\frac{s^2}{4a^3}\hat{\beta}^2 \right\} \\ ただし、& & \\ & & \hat{\beta} = 1-e^{-aT} \end{eqnarray*}

現在価格が得られたので続いてフォワードレート、イールドを求めよう。先に、 \[\frac{\partial \beta}{\partial T}=e^{-a(T-t)} \] を計算しておいて、フォワードレートは、 \begin{eqnarray*} & & f(t,T)= -\frac{\partial \log B_t}{\partial T} \\ &=& -\frac{\partial }{\partial T}\left\{-\beta r_t+\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)\left(\beta -(T-t)\right)-\frac{s^2}{4a}\beta^2 \right\} \\ &=& r_te^{-a(T-t)}-\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)e^{-a(T-t)}+\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)+\frac{s^2}{2a^2}\left(1-e^{-a(T-t)} \right)e^{-a(T-t)} \\ &=& r_te^{-a(T-t)}+\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)\left(1-e^{-a(T-t)}\right)+\frac{s^2}{2a^2}e^{-a(T-t)}\left(1-e^{-a(T-t)}\right) \end{eqnarray*} となる。$T=t$とすれば、やはり$f(t,t)=r_t$が確認できる。

イールドは、 \begin{eqnarray*} & & y(t,T)=-\frac{1}{T-t}\log B_t \\ &=& -\frac{1}{T-t}\left\{ -\beta r_t+\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)\left(\beta -(T-t)\right)-\frac{s^2}{4a}\beta^2 \right\} \\ &=& \left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)-\frac{1}{T-t}\left\{\left(b-\frac{s^2}{2a^2} -r_t \right)\beta-\frac{s^2}{4a}\beta^2 \right\} \end{eqnarray*} と表される。$T\rightarrow \infty$ とすれば、第二項はゼロとなるので、 \[ \lim_{T\rightarrow \infty} y(t,T)=b-\frac{s^2}{2a^2}\] これはゼロクーポン債の超長期利回りを意味することになる。

償還額$M=1$として、価格とフォワードレート、イールドの定義式である、 \[B(t)=e^{-(T-t)y(t,T)}=e^{-\int_t^Tf(t,s)ds} \] が成立していることを検算してみる。

まずイールドについて、指数部分を計算すると、 \begin{eqnarray*} -(T-t)y(t,T) &= &-(T-t)\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)+\left\{\left(b-\frac{s^2}{2a^2} -r_t \right)\beta-\frac{s^2}{4a}\beta^2 \right\} \\ &= &-\beta r_t+\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)\left(\beta -(T-t)\right)-\frac{s^2}{4a}\beta^2 \end{eqnarray*} となって簡単に確認できる。次にフォワードレートは、やはり指数部分を計算する。 \begin{eqnarray*} & & -\int_t^T f(t,s) ds \\ &=&-\int_t^T\left\{r_te^{-a(s-t)}+\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)\left(1-e^{-a(s-t)}\right)+\frac{s^2}{2a^2}e^{-a(s-t)}\left(1-e^{-a(s-t)}\right) \right\}ds \end{eqnarray*} これは積分でちょっと計算が多いが、一つづつやっていくと、 \begin{eqnarray*} & & -\int_t^T r_te^{-a(s-t)}ds = -r_t\left[-\frac{1}{a}e^{-a(s-t)} \right]_t^T = -r_t\beta \quad (第1項) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} & & -\int_t^T\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)\left(1-e^{-a(s-t)}\right)ds \\ &= &-\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)(T-t) +\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)\left[-\frac{1}{a}e^{-a(s-t)} \right]_t^T \\ &= &\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)\left(\beta-(T-t) \right) \quad (第2項) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} & & -\int_t^T\frac{s^2}{2a^2}e^{-a(s-t)}\left(1-e^{-a(s-t)}\right)ds \\ &=& -\frac{s^2}{2a^2}\left[-\frac{1}{a}e^{-a(s-t)} \right]_t^T+\frac{s^2}{2a^2}\left[-\frac{1}{2a}e^{-2a(s-t)} \right]_t^T \\ &=& -\frac{s^2}{2a^2}\beta+\frac{s^2}{2a^2}\frac{1}{2a}\left(1-e^{-2a(s-t)}\right) \\ &=& -\frac{s^2}{2a^2}\beta-\frac{s^2}{4a}\beta^2+\frac{s^2}{2a^2}\beta = -\frac{s^2}{4a}\beta^2 \quad (第3項) \end{eqnarray*} となる。下から2行目の第2項の括弧の変換はすでに説明したものを使った。

みっつを合計すればやはりフォワードレートによる価格の指数部分が確認できる。

もうひとつフォワードレートとイールドの関係も検算してみよう。それは、 \begin{eqnarray*} f(t,T)&= & y(t,T)+(T-t)\frac{\partial y(t,T)}{\partial T} \end{eqnarray*} というものであったから、 \begin{eqnarray*} \frac{\partial y(t,T)}{\partial T}&= &-\frac{1}{(T-t)^2}\left[\left\{\left(b-\frac{s^2}{2a^2} -r_t \right)\frac{\partial \beta}{\partial T}-\frac{s^2}{4a}\frac{\partial \beta^2}{\partial T} \right\}(T-t) \right.\\ & & \left.-\left\{\left(b-\frac{s^2}{2a^2} -r_t \right)\beta-\frac{s^2}{4a}\beta^2 \right\} \right] \end{eqnarray*} なので、うまくイールドの第二項が相殺される形となり、 \[\frac{\partial \beta^2}{\partial T}=e^{-a(T-t)}\frac{2}{a}\left(1-e^{-a(T-t)}\right) \] を求めておいて、代入すれば、 \begin{eqnarray*} & & y(t,T)+(T-t)\frac{\partial y(t,T)}{\partial T} \\ &=& \left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)-\left\{\left(b-\frac{s^2}{2a^2} -r_t \right)\frac{\partial \beta}{\partial T}-\frac{s^2}{4a}\frac{\partial \beta^2}{\partial T}\right\} \\ &=& \left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)-\left(b-\frac{s^2}{2a^2} -r_t \right)e^{-a(T-t)}+\frac{s^2}{4a}e^{-a(T-t)}\frac{2}{a}\left(1-e^{-a(T-t)}\right) \\ &=& f(t,T) \end{eqnarray*} となって成立していることが確認できる。

蛇足に近いが、ハシェックのモデルを自然確率のもとで考えとき、ゼロクーポン債の価格はどうなるであろうか。同じ道をたどってみよう。

まずゼロクーポン債が満足すべき偏微分方程式を求めよう。その微小変化は、 \[ dB_t=\frac{\partial B_t}{\partial t}dt+\frac{\partial B_t}{\partial r_t}dr_t+\frac{1}{2}\frac{\partial ^2B_t}{\partial r_t^2}(dr_t)^2 \] である。ここに金利の微小変化$dr_t$を代入する。先の$m$の代わりに、 \[dr_t = a(b-r_t)dt+sdW_t \] とするので、 \[ dB_t=\left(\frac{\partial B_t}{\partial t}+\frac{1}{2}s^2\frac{\partial ^2B_t}{\partial r_t^2}+a(b-r_t)\frac{\partial B_t}{\partial r_t} \right)dt+s\frac{\partial B_t}{\partial r_t}dW_t \] ところが、この式が当初の前提である、 \[ dB_t=\mu B_tdt+\sigma B_tdW_t \] と等しくなっているのだから、それぞれの係数が等しいとおいて、2本の連立方程式が、 \[ \begin{array}{lll} \mu B_t&=&\displaystyle \frac{\partial B_t}{\partial t}+\frac{1}{2}s^2\frac{\partial ^2B_t}{\partial r_t^2}+a(b-r_t)\frac{\partial B_t}{\partial r_t} \\ \sigma B_t&=&\displaystyle s\frac{\partial B_t}{\partial r_t} \end{array} \] 成立していることになる。そして市場が無裁定となっており先ほど求めた金利リスクの市場価格が得られたとする。2番目の方程式を使って \[ \lambda=\frac{\mu -r_t}{\sigma}=\frac{\mu - r_i}{\frac{s}{B_t}\frac{\partial B_t}{\partial r_t}} \] 故に、 \[ \mu B_t=s\lambda\frac{\partial B_t}{\partial r_t}+r_tB_t \]

これを1番目の方程式の左辺として整理する、 \[ \frac{\partial B_t}{\partial t}+\frac{1}{2}s^2\frac{\partial ^2B_t}{\partial r_t^2}+\left(a(b-r_t)-s\lambda \right)\frac{\partial B_t}{\partial r_t}-r_tB_t=0 \] となってゼロクーポン債が満足すべき偏微分方程式が求められた。境界条件は、$B_T=1$である。

先と異なるのは未知の金利リスクの市場価格$\lambda$が係数として含まれていることである。 リスク中立の世界では$\lambda=0$であるから、そのとおりとすれば先の式と同一となっている。

続けてこのまま方程式を解いてみよう。$B_t$が$t$の関数$\alpha(t),\beta(t)$によって \[ B_t=e^{\alpha(t)-\beta(t)r_t} \] と表されるとして、偏微分をとって、 \[\frac{\partial B_t}{\partial t} = \left(\frac{\partial \alpha}{\partial t}-r_t\frac{\partial \beta}{\partial t} \right)B_t, \quad \frac{\partial B_t}{\partial r_t} = -\beta B_t, \quad \frac{\partial ^2B_t}{\partial r_t^2} = \beta^2B_t \] もとの方程式に代入し、$r_t$で整理する。 \begin{eqnarray*} & &\left(\frac{\partial \alpha}{\partial t}-r_t\frac{\partial \beta}{\partial t} \right)B_t+\frac{1}{2}s^2 \beta^2B_t+\left(a(b-r_t)-s\lambda \right)(-\beta B_t)-r_tB_t=0\\ & &-\left(\frac{\partial \beta}{\partial t}-a\beta+1 \right)r_t+\left(\frac{\partial \alpha}{\partial t}-(ab-s\lambda)\beta+\frac{1}{2}s^2\beta^2 \right)=0 \end{eqnarray*} やはり2本の連立方程式 \begin{eqnarray*} & & \frac{\partial \beta}{\partial t}-a\beta+1=0 \\ & & \frac{\partial \alpha}{\partial t}-(ab-s\lambda)\beta+\frac{1}{2}s^2\beta^2=0 \end{eqnarray*} が成立することである。まず一つ目の方程式は先とまったく同じなので、 \begin{eqnarray*} & & \beta(t)=\frac{1}{a}\left(1-e^{-a(T-t)} \right) \end{eqnarray*} が求められる。

続いて二つ目の方程式を解く。 \begin{eqnarray*} & & \frac{\partial \alpha}{\partial t} = (ab-s\lambda)\beta-\frac{1}{2}s^2\beta^2 \\ & & \int\frac{\partial \alpha}{\partial t}dt= \int \left((ab-s\lambda)\beta-\frac{1}{2}s^2\beta^2 \right)dt+C \\ \alpha &= & \left(b-\frac{s}{a}\lambda\right)\int(1-e^{-a(T-t)})dt-\frac{s^2}{2a^2}\int(1-e^{-a(T-t)})^2dt+C \\ & & \int e^{-a(T-t)}dt=\frac{1}{a}e^{-a(T-t)}\quad なので、\\ &= & \left(b-\frac{s}{a}\lambda\right)\left(t-\frac{1}{a}e^{-a(T-t)}\right)-\frac{s^2}{2a^2}\left(t-\frac{2}{a}e^{-a(T-t)}+\frac{1}{2a}e^{-2a(T-t)}\right)+C \\ &= & \left(b-\frac{s}{a}\lambda-\frac{s^2}{2a^2} \right)t-\left(b-\frac{s}{a}\lambda-\frac{s^2}{a^2} \right)\frac{1}{a}e^{-a(T-t)}-\frac{s^2}{4a}\left(\frac{1}{a}e^{-a(T-t)} \right)^2+C \end{eqnarray*}

積分定数を特定しよう。$t=T$のとき$\alpha=0$を利用して、最後の式に$t=T$を代入する。 \begin{eqnarray*} \left.\alpha \right|_{t=T}&=& \left(b-\frac{s}{a}\lambda-\frac{s^2}{2a^2} \right)T-\left(b-\frac{s}{a}\lambda-\frac{s^2}{a^2} \right)\frac{1}{a}-\frac{s^2}{4a}\frac{1}{a^2}+C=0 \quad より、\\ C &=& -\left(b-\frac{s}{a}\lambda-\frac{s^2}{2a^2} \right)T+\left(b-\frac{s}{a}\lambda-\frac{s^2}{a^2} \right)\frac{1}{a}+\frac{s^2}{4a}\frac{1}{a^2} \end{eqnarray*} もと$\alpha$の式に代入する。 \begin{eqnarray*} \alpha &=& \left(b-\frac{s}{a}\lambda-\frac{s^2}{2a^2} \right)(t-T)+\left(b-\frac{s}{a}\lambda-\frac{s^2}{a^2} \right)\frac{1}{a}\left(1-e^{-a(T-t)}\right)+\frac{s^2}{4a}\frac{1}{a^2}\left(1-e^{-2a(T-t)} \right) \end{eqnarray*} ここで、 \[ 1-e^{-2a(T-t)} =-\left(1-e^{-a(T-t)}\right)^2+2\left(1-e^{-a(T-t)} \right)\] を利用して、最後に$\beta$とすると、 \[\alpha=\left(b-\frac{s}{a}\lambda-\frac{s^2}{2a^2} \right)(t-T)+\left(b-\frac{s}{a}\lambda-\frac{s^2}{2a^2} \right)\beta-\frac{s^2}{4a}\beta^2 \] となる。

したがって、自然確率からスタートしたハシェックモデルにおける償還額1のゼロクーポン債の現在価格は、 \begin{eqnarray*} B_t &=& \exp\left\{\left(b-\frac{s}{a}\lambda-\frac{s^2}{2a^2} \right)(t-T)+\left(b-\frac{s}{a}\lambda-\frac{s^2}{2a^2}-r_t \right)\beta-\frac{s^2}{4a}\beta^2 \right\} \\ ただし、& & \\ & & \beta = \frac{1}{a}\left(1-e^{-a(T-t)}\right) \\ & & dr_t = a(b-r_t)dt+sdW_t\quad （on\quad p：自然確率） \\ & & a.b.s.\lambda は所与 \end{eqnarray*} と得ることができる。もちろん$t=0$とした次の表現もあるだろう。 \begin{eqnarray*} B_0 &=& \exp\left\{\frac{1}{a^2}\left(ab-s\lambda-\frac{s^2}{2a}-r_t \right)\left( 1-e^{-a(T-t)}\right) \right. \\ & & \left. \quad -\frac{s^2}{4a^3}\left( 1-e^{-a(T-t)}\right)^2-\frac{1}{a^2}\left(a^2b-as\lambda-\frac{s^2}{2}\right)T \right\} \end{eqnarray*}

式はすでに述べたように金利リスクの市場価格が残った形式となるが、$\lambda=0$とすれば、すでに求めたものと同一となる。

　

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