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コックス・インガソル・ロス（Cox，Ingersoll，Ross）ショートレートモデル

コックス、インガソルとロス（CIR；　J.Cox、J.Ingersoll、S.Ross）は、ここまで説明してきた金利が負となるホー・リーあるいは ハシェックによるモデルの修正を提案した。これを紹介しよう。

ゼロクーポン債の価格$B_t$はこれまでと同様に対数正規分布しているとする。すなわち、ウィーナー過程$W_t$を利用して、 \[ dB_t=\mu B_tdt+\sigma B_tdW_t \] とあらわす。次に市場が無裁定であることも同様に、 \[ \frac{\mu-r}{\sigma}=\lambda\quad (一定)\] が成立していると考える。

金利に不確実性を導入する。CIRはわれわれが期待する自然確率の元で金利の微小変化が、ドリフト$m$(変動率)と債券と同一のウィーナー過程によって、 \[ dr_t=mdt+s\sqrt{r_t}dW_t \] に従っているとする。ウィーナー過程に作用する拡散項が現在の金利の平方根に比例するところが大きな修正点である。

この特徴によって確率過程は平方根過程と呼ばれることがある。

この平方根による拡散項の生まれ来し方を直観的に説明しよう。いまある確率過程の微小変化$dY_t$が、適当な$p,q$によって、 \[ dY_t=-\frac{p}{2} Y_tdt+\frac{q}{2} dW_t \] となっており（これはオルンシュタイン・ウーレンベック過程）、ショートレートが、 \[r_t=Y_t^2 \] となっているとする。すると明らかに、 \[ r_t\geq 0 \] である。ところがこの$r_t=r_t(t,Y_t)$の微小変化は、伊藤の補題によって、 \begin{eqnarray*} dr_t &= &\frac{\partial r_t}{\partial t}dt+\frac{\partial r_t}{\partial Y_t}dY_t +\frac{1}{2}\frac{\partial^2 r_t}{\partial Y_t^2}(dY_t)^2 \\ &= &2Y_tdY_t+\frac{1}{2}2(dY_t)^2 \\ &= &2Y_t\left(-\frac{p}{2} Y_tdt+\frac{q}{2} dW_t \right)+\frac{q^2}{4} dt \\ &= &\left(\frac{q^2}{4}-p Y_t^2 \right)dt+q Y_tdW_t \\ &= &p\left(\frac{q^2}{4p}-r_t \right)dt+q\sqrt{r_t}dW_t \end{eqnarray*} と表される。

けっして正確な議論ではないが、ドリフト項をさておくとすれば、微小変化の拡散項に平方根をとった値を置くことは、 金利が不確実項の2乗の関数となることを意味し、金利そのものがマイナスとならないような動きをさせることができることに繋がるのである。

そしてドリフトへの考慮を含めて、CIRは金利リスクの市場価格をハシェックモデルの平均回帰性を残し、 \[ \lambda=\frac{\mu -r_t}{\sigma}=\frac{m-a(b-r_t)}{s\sqrt{r_t}} \] となると考えたのである。従って、リスク中立確率のもとでの金利の微小変化は、 \[dr_t=a(b-r_t)dt+s\sqrt{r_t}dX_t \] となる。この確率微分方程式をCIRモデルという。

この微小変化はどのような結果をもたらすのだろうか。まずハシェックモデルで述べたように平均回帰性は、 長期的には$r_t\rightarrow b$となることを方向付ける。

$r_t$が小さくなって、$b\gt r_t$であるなら、ドリフトはプラスに働く。したがって$t$があまり大きくなく、 $r_t$が小さいときにウィーナー過程がマイナスを生じ、ドリフト増分で相殺しきれないと$r_t\lt 0$の可能性が生じる。

しかし、CIRモデルは平方根過程をとり、拡散項に$\sqrt{r_t}$が含まれているため、 $r_t$が小さいとウィーナー過程のマイナスをさらに小さくする力が働く。このため$r_t\lt 0$および$r_t=0$が起こりにくくなるのである。

正確には、$\displaystyle ab\gt\frac{1}{2}s^2$であれば、確率1で$r_t\gt 0$となることが知られている。ただその証明はここではできない。

CIRモデルを利用した伊藤の補題による関数の微小変化と元の対数正規分布する微小変化の式を等しくする2本の連立方程式は、 \[ \begin{array}{lll} \mu B_t&=&\displaystyle \frac{\partial B_t}{\partial t}+\frac{1}{2}s^2r_t\frac{\partial ^2B_t}{\partial r_t^2}+m\frac{\partial B_t}{\partial r_t} \\ \sigma B_t&=&\displaystyle s\sqrt{r_t}\frac{\partial B_t}{\partial r_t} \end{array} \] と得られ、この$dr_t$の下でのゼロクーポン債が従う偏微分方程式は、 \[ \frac{\partial B_t}{\partial t}+a(b-r_t)\frac{\partial B_t}{\partial r_t}+\frac{1}{2}s^2r_t\frac{\partial ^2B_t}{\partial r_t^2}-r_tB_t=0 \] となる。CIRモデルに従う債券価格の偏微分方程式である。境界条件はもちろん、$B_T=1$となる。

いつものように求めるべき関数の形状を、 \[B_t=e^{\alpha(t)-\beta(t)r_t} \] と仮定すると、成立すべき二つの(常)微分方程式は、 \begin{eqnarray*} & & \frac{\partial \beta}{\partial t}-\frac{1}{2}s^2\beta^2-a\beta+1=0 \\ & & \frac{\partial \alpha}{\partial t}-ab\beta=0 \end{eqnarray*} である。

続いてこの方程式を解くことになる。

まず1本目の$\beta$の方程式は、リカッチ（Riccati）の常微分方程式と呼ばれるもので、 特徴的な性質は研究されているが不定積分を利用する求積法による一般的な解法は見つかっていない。

しかし係数が定数の場合は次のように変数変換で解けることがある。適当な関数$u$によって$\beta$が、 \[\beta= -\frac{1}{\frac{1}{2}s^2}\frac{u'}{u} \] と表されるとする。この式と、この式を微分したもの、 \begin{eqnarray*} & & \beta'=-\frac{2}{s^2}\frac{u''-(u')^2}{u^2} \qquad を代入して、整理すると、\\ & & \left(-\frac{2}{s^2}\frac{u''-(u')^2}{u^2} \right)-\frac{1}{2}s^2\left(-\frac{1}{\frac{1}{2}s^2}\frac{u'}{u} \right)^2-a\left(-\frac{1}{\frac{1}{2}s^2}\frac{u'}{u} \right)+1=0 \\ & & u''-au'-\frac{s^2}{2}u=0 \end{eqnarray*} という2階の線型微分方程式に切り替わる。$u=e^{mt}$とおけば特性方程式は、 \begin{eqnarray*} & & m^2-am-\frac{s^2}{2}=0 \qquad であるから、\\ & & m=\frac{a\pm \sqrt{a^2+2s^2}}{2}\qquad となって、\\ & & uの一般解は、積分定数C_1,C_2によって、\\ & & u=C_1e^{\frac{a+ \sqrt{a^2+2s^2}}{2}t}+C_2e^{\frac{a- \sqrt{a^2+2s^2}}{2}t} \end{eqnarray*} となる。この解法は(常)微分方程式のテキストを参照されたい。

従って、 \begin{eqnarray*} \rho&= & \sqrt{a^2+2s^2}\quad とおいて、\\ u'&=& C_1\frac{a+\rho}{2}e^{\frac{a+ \rho}{2}t} +C_2\frac{a-\rho}{2}e^{\frac{a- \rho}{2}t} \qquad となる。\\ & & さらに、e^{t\pm }= \exp \left(\frac{a\pm \rho}{2}t\right)と簡略表記すると、\\ \beta&=&-\frac{1}{\frac{1}{2}s^2}\frac{u'}{u}=-\frac{2}{s^2}\left(\frac{C_1\frac{a+\rho}{2}e^{t+} +C_2\frac{a-\rho}{2}e^{t-}}{C_1e^{t+} +C_2e^{t-}} \right)　\\ &=& -\frac{1}{s^2}\left(a+\rho\frac{C_1e^{t+}-C_2e^{t-}}{C_1e^{t+}+C_2e^{t-}} \right) \end{eqnarray*} ある。

積分定数を求めよう。$t=T$のとき$\beta=0$なので、 \begin{eqnarray*} \left.\beta\right|_{t=T}&= & -\frac{1}{s^2}\left(a+\rho\frac{C_1e^{T+}-C_2e^{T-}}{C_1e^{T+}+C_2e^{T-}} \right) =0 \quad より、\\ C_1&= & \frac{e^{T-}-\frac{a}{\rho}e^{T-}}{e^{T+}+\frac{a}{\rho}e^{T+}} C_2\\ &=& e^{-\rho T}\left(\frac{\rho-a}{\rho+a}\right)C_2 \end{eqnarray*} という関係が得られる。ここで、$e^{T-}/e^{T+}=e^{-\rho T}$を使った。この関係を元の$\beta$に代入する。 \begin{eqnarray*} \beta &=& -\frac{1}{s^2}\left(a+\rho\frac{e^{-\rho T}\left(\frac{\rho-a}{\rho+a}\right)C_2e^{t+} -C_2e^{t-}}{e^{-\rho T}\left(\frac{\rho-a}{\rho+a}\right)C_2e^{t+}+C_2e^{t-}} \right) \end{eqnarray*} うまく$C_2$が消える。そして、括弧内の分数の分子分母を$e^{-\rho T}e^{t+}$で割り \begin{eqnarray*} & & \frac{1}{e^{-\rho T}}\frac{e^{t-}}{e^{t+}}=e^{\rho(T-t)} \qquad を利用すると、\\ \beta &=& -\frac{1}{s^2}\left(a+\rho\frac{\rho-a-e^{\rho(T-t)} (\rho+a)}{\rho-a+e^{\rho(T-t)} (\rho+a)} \right) \\ &=&\frac{2\left(e^{\rho(T-t)}-1 \right)}{\rho-a+e^{\rho(T-t)} (\rho+a)} \\ & & すなわち\beta は、\\ \beta &=& \frac{2(e^{\rho(T-t)}-1)}{(a+\rho)(e^{\rho(T-t)}-1)+2\rho}　\\ & & ここで、\quad \rho=\sqrt{a^2+2s^2} \end{eqnarray*} となる。非常に煩雑であったので$\beta$が微分方程式を満たしていることを確認しておこう。 \begin{eqnarray*} \phi&=& e^{\rho(T-t)},\quad \psi=(a+\rho)(\phi-1)+2\rho \qquad とおいて、\\ \frac{\partial \beta}{\partial t} &= &\frac{1}{\psi^2}\left(2(-\rho)\phi\psi-2(\phi-1)(-\rho)(a+\rho)\phi \right) = -\frac{4\rho^2\phi}{\psi^2} \end{eqnarray*}

一方で、 \begin{eqnarray*} & & \frac{1}{2}s^2\beta^2+a\beta-1 \quad を計算する。\\ & & \frac{1}{2}s^2\beta^2= \frac{1}{\psi^2}\left(\frac{1}{2}s^2\cdot 4(\phi-1)^2 \right) = \frac{2s^2}{\psi^2}(\phi-1)^2\\ & & a\beta= \frac{1}{\psi}2a(\phi-1) \\ & & あわせて、\\ & & \frac{1}{2}s^2\beta^2+a\beta-1 \\ &=& \frac{1}{\psi^2}\left\{2s^2(\phi-1)^2+2a(\phi-1)\psi-\psi^2 \right\} \\ &=& \frac{1}{\psi^2}\left\{2s^2(\phi-1)^2+\psi\left(a\phi-r\phi-(\rho+a) \right) \right\} \\ &=& \frac{1}{\psi^2}\left\{2s^2(\phi-1)^2+(a^2-\rho^2)\phi^2-(\rho^2-a^2)-2a^2\phi-2\rho^2\phi \right\} \\ & & \rho^2-a^2=2s^2\quad なので、\\ &= & \frac{1}{\psi^2}\left\{2s^2\phi^2-4s^2\phi+2s^2-2s^2\phi^2-2s^2-(4a^2+4s^2)\phi \right\} \\ &= &-\frac{4\rho^2\phi}{\psi^2} \end{eqnarray*} となって、微分方程式が成立していることが分かる。

では$\beta$を利用して二本目の微分方程式を解く。 \begin{eqnarray*} & & \alpha=\int ab\beta dt +C= \int \frac{2ab(e^{\rho(T-t)}-1)}{(a+\rho)(e^{\rho(T-t)}-1)+2\rho}dt +C \\ &= &2ab\int \frac{e^{\rho(T-t)}}{(a+\rho)(e^{\rho(T-t)}-1)+2\rho}dt-2ab\int \frac{1}{(a+\rho)(e^{\rho(T-t)}-1)+2\rho}dt +C \\ & & ここで、\phi=e^{\rho(T-t)}とすれば、d\phi/dt=-\rho\phi なので、\\ &= &-\frac{2ab}{\rho}\int \frac{1}{(a+\rho)(\phi-1)+2\rho}d\phi +\frac{2ab}{\rho}\int \left(\frac{1}{(a+\rho)(\phi-1)+2\rho}\right)\frac{1}{\phi}d\phi +C \\ &= &-\frac{2ab}{\rho(a+\rho)}\log\left|(a+\rho)(\phi-1)+2\rho\right|+\frac{2ab}{\rho(\rho-a)}\int \left(\frac{1}{\phi}-\frac{a+\rho}{(a+\rho)(\phi-1)+2\rho} \right)d\phi +C \\ & & \psi=\left|(a+\rho)(\phi-1)+2\rho\right|\quad とおけば、\\ &= & -\frac{2ab}{\rho(\rho+a)}\log\psi+\frac{2ab}{\rho(\rho-a)}\log\phi-\frac{2ab}{\rho(\rho-a)}\log\psi+C \\ & & \rho^2-a^2=2s^2\quad を使って、\\ &= & -\frac{2ab}{s^2}\log\psi+\frac{2ab}{\rho(\rho-a)}\log\phi+C \end{eqnarray*} さらに式の整理を進めるにあたって、積分定数を特定しておこう。いつものように、$B_T=1$であるから、$t=T$のときに、$\alpha=0$なので、 \begin{eqnarray*} -\left.\frac{2ab}{s^2}\log\psi\right|_{t=T}&=&-\frac{2ab}{s^2}\log 2\rho \\ \left.\frac{2ab}{\rho(\rho-a)}\log\phi\right|_{t=T}&=&0 \qquad より、\\ C&=& \frac{2ab}{s^2}\log 2\rho \\ である。ところで、& & \\ \frac{2ab}{\rho(\rho-a)}\log\phi &=& \frac{2ab}{s^2}\log\phi^{\frac{s^2}{\rho(\rho-a)}} \\ & & s^2=(\rho^2-a^2)/2\quad を使って、\\ &=& \frac{2ab}{s^2}\log e^{\rho(T-t)\frac{(\rho^2-a^2)/2}{\rho(\rho-a)}} \\ &=& \frac{2ab}{s^2}\log e^{(T-t)(a+\rho)/2} \end{eqnarray*} みっつをあわせてまとめると、 \begin{eqnarray*} \alpha &=& -\frac{2ab}{s^2}\log\psi+\frac{2ab}{s^2}\log e^{(a+\rho)(T-t)/2}+\frac{2ab}{s^2}\log 2\rho \\ &= & \frac{2ab}{s^2}\log \left[\frac{2\rho e^{(a+\rho)(T-t)/2}}{(a+\rho)(e^{\rho(T-t)}-1)+2\rho} \right] \end{eqnarray*} となる。

指数の肩に対数が付くのが煩わしいので、$e^{\log x}=x$を利用する。さきほどの$\beta$の解をあわせて、 CIRモデルにおけるゼロクーポン債の価格$B_t$は、 \begin{eqnarray*} B_t&=&\left[\frac{2\rho e^{(a+\rho)(T-t)/2}}{\psi} \right]^{\frac{2ab}{s^2}} \exp \left[-\frac{2(e^{\rho(T-t)}-1)}{\psi}r_t \right] \\ ただし、& & \\ & &\rho = \sqrt{a^2+2s^2} \\ & &\psi = (a+\rho)(e^{\rho(T-t)}-1)+2\rho \\ & & dr_t = a(b-r_t)dt+s\sqrt{r_t}dX_t\quad （on\quad q：リスク中立確率） \\ & & a.b.s は所与 \end{eqnarray*} と表される。

やはりフォワードレートを求めておこう。煩雑な計算は自ら確認いただくとして、 \begin{eqnarray*} f(t,T)&= & -\frac{\partial \log B_t}{\partial T} = -\frac{\partial \alpha }{\partial T}+\frac{\partial \beta }{\partial T}r_t\\ \frac{\partial \alpha }{\partial T}&=& -\frac{2ab\left(e^{\rho(T-t)}-1 \right)}{\psi}, \qquad \frac{\partial \beta }{\partial T}= \frac{4\rho^2e^{\rho(T-t)}}{\psi^2} \quad より、\\ f(t,T)&= & \frac{2ab\left(e^{\rho(T-t)}-1 \right)}{\psi} +\frac{4\rho^2e^{\rho(T-t)}}{\psi^2}r_t \\ f(0,t)&= & \frac{2ab\left(e^{\rho t}-1 \right)}{(a+\rho)(e^{\rho t}-1)+2\rho}+\frac{4\rho^2e^{\rho t}}{\left((a+\rho)(e^{\rho t}-1)+2\rho \right)^2}r_0 \end{eqnarray*} となる。$f(t,t)=r_t$も確認できる。

イールドは、 \begin{eqnarray*} y(t,T)&= & -\frac{1}{T-t}\log B_t= -\frac{1}{T-t}\left\{ \alpha-\beta r_t \right\} \\ &=& \frac{1}{T-t}\left\{\frac{2(e^{\rho(T-t)}-1)}{\psi}r_t -\frac{2ab}{s^2}\log \left[\frac{2\rho e^{(a+\rho)(T-t)/2}}{\psi} \right] \right\} \end{eqnarray*} と表される。残念ながらあまり価格式と代わり映えしない。$T\rightarrow t$として、 \[e^{\rho(T-t)}=1+ \rho(T-t) \] と近似すれば、$y(t,t)=r_t$が得られる。