ヒース・ジャロー・モートンモデル（フォワードレートモデル）
より一般的かつ汎用的な金利のモデルを構成するためには、ここまであげたお馴染みのショートレートではなくフォワードレートを用いる。 フォワードレートはその成立の過程から無裁定条件が組み込まれるため、微小変動の式を議論すると、係数に制約がもたらされる。
そしてその制約を調べると、すべての係数がボラティリティの関数となることがわかる。 ちょうどオプションのブラック・ショールズ公式が結局はボラティリティに支配されるように、フォワードレートはやはりボラティリティに支配されるのである。 そしてフォワードレートはここまであげてきたショートレートのモデルを統一的に表現することに成功するのである。
では、フォワードレートの設定を基礎とするヒース・ジャロー・モートンモデル（HJM；D.Heath、R.Jarrow、A.Morton）を紹介しよう。
HJMモデルの利点は、債券価格のボラティリティを分析することによって直截にフォワードレートの定義に進めること、 金利リスクの市場価格を表に出さずショートレートを包括的に表現できることにある。
ホー・リー、ハシェックそしてコックス・インガソル・ロスのモデルはいずれもショートレートのパラメータが金利リスクの市場価格とどのような関係にあるかを設定した。
この考え方は株式のオプション価格の決定を思い出していただくと、自然確率の元での金利(ショートレート)の微小変化を、 リスク中立確率の元での微小変化に変換している作業となっている。
すなわち債券市場の無裁定条件を金利の微小変化へ反映させる手続きである。
ところがフォワードレートは当初の定義あるいは期間設定した金利パラメータの項で述べたように、 すでに無裁定条件を組み込んだものとなっている。従って、フォワードレートをうまく設定すれば、 自明でない金利リスクの市場価格を議論の表面に出さずに金利のモデル化が可能となることが推察される。
とはいえ条件が付与されている限りは全く自由にフォワードレートが設定できるわけでもないであろう。 HJMは市場の無裁定に制約されたフォワードレートが満足すべき条件を明らかとしたのである。
HJMモデルとは、これまで説明してきたキャリブレーション可能な具体的なショートレート金利モデルではなく、 金利リスクの市場価格によるアプローチとは異なった、金利変化が従うべき無裁定条件の構成的な枠組みと云える。
HJMモデルが得る結果は一見抽象的で実用性に欠ける面があるが、どのようなショートレートのモデルを表すこともできる統一性と汎用性を持つものである。
まずフォワードレートの定義をおさらいしよう。そしてフォワードレートが含意するものを確認する。 このフォワードレートの意味するものがHJMモデルの核心といってもよい。
先の項で述べたように、時点$t$における、将来$T$での（瞬間）フォワードレート$f(t,T)$は、ゼロクーポン債の$t$時点価格を$B(t,T)$とすれば、 \begin{eqnarray*} f(t,T)&=& -\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\log B(t,T+h)-\log B(t,T)}{h}\\ &=& -\frac{\partial \log B(t,T)}{\partial T} \end{eqnarray*} であった。標準的な説明はこの1行目の式を変形していく。そのために、債券価格のリスク中立確率の下での微小変化を、 \[ dB=rBdt+\sigma BdX \] と置く。ドリフトからリスクプレミアムをはずしているものだが、これは株価で述べたことの単なる置き換えである。すると伊藤の補題で、 \[ d\log B = \left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)dt+\sigma dX \] である。この式を使えば、 \begin{eqnarray*} d\log B(t,T+h) &= &\left(r_t-\frac{1}{2}\sigma_{T+h}^2\right)dt+\sigma_{T+h} dX_t \\ d\log B(t,T) &= &\left(r_t-\frac{1}{2}\sigma_{T}^2\right)dt+\sigma_{T} dX_t \end{eqnarray*} という二つの式が得られる。すると、極限演算を外した定義の1行目の式に代入して、最後に再び極限をとると、 \begin{eqnarray*} & & df(t,T)= f(t,T+h)- f(t,T)\\% \quad (\Delta\rightarrow 0) &=& -\frac{1}{h}\left(\log B(t,T+h+h)-\log B(t,T+h)-(\log B(t,T+h)-\log B(t,T)) \right)\\ &=& -\frac{1}{h}\left(d\log B(t,T+h)-d\log B(t,T) \right)\\ &=&-\frac{1}{h}\left\{\left(r_t-\frac{1}{2}\sigma_{T+h}^2\right)dt+\sigma_{T+h} dX_t-\left(r_t-\frac{1}{2}\sigma_{T}^2\right)dt-\sigma_{T} dX_t \right\}\\ &=&\frac{1}{2h}\left(\sigma_{T+h}^2-\sigma_{T}^2 \right)dt-\frac{1}{h}\left(\sigma_{T+h}-\sigma_{T} \right)dX_t \\ &=&\frac{\left(\sigma_{T+h}+\sigma_{T} \right)}{2}\frac{\left(\sigma_{T+h}-\sigma_{T} \right)}{h}dt+\frac{\left(\sigma_{T+h}-\sigma_{T} \right)}{h}dX_t \quad (h\rightarrow 0)\\ &=&\sigma_{T}\frac{\partial \sigma_{T}}{\partial T}dt+\frac{\partial \sigma_{T}}{\partial T}dX_t \end{eqnarray*} となる。下から2行目の第2項はウィーナー過程の鏡像原理によって符号を反転させても可能なことを利用しており、 極限操作の順序交換にも所定の条件が必要だが、そこはよしとしよう。
このリスク中立確率の下でのフォワードレートの微小変化の式は、定義の2行目の式を利用していっそう簡単に求めることもできる。 \begin{eqnarray*} & & df(t,T)=-d\left( \frac{\partial \log B(t,T)}{\partial T} \right) \\ &=& -\frac{\partial}{\partial T}\left(d\log B(t,T)\right) \\ &=& -\frac{\partial}{\partial T}\left(\left(r_t-\frac{1}{2}\sigma_{T}^2\right)dt+\sigma_{T} dX_t \right) \\ &=& \sigma_{T}\frac{\partial \sigma_{T}}{\partial T}dt+\frac{\partial \sigma_{T}}{\partial T}dX_t \end{eqnarray*} やはり最後の行の第2項は鏡像原理を利用して符合を反転させている。微分操作の順序交換は可能であるとする。
いずれの式の変換も利用されているのは対数正規分布を仮定するリスク中立な債券価格の微小変化だけである。
しかもフォワードレートを定義として与えるにあたっては、複製ポートフォリオが成立することを前提としているので、 債券価格の微小変化は決して新たな追加条件とはなっていない。
したがって、無裁定な市場で正しくフォワードレートが得られれば、そのフォワードレートはこの式を満足していることを意味する。 HJMはこの式を明らかとしたのである。
ではこの式は結局のところ何を示しているのであろうか。 説明を繰り返すと、ショートレートと同様にフォワードレートに不確実性を導入することを考える。
するとフォワードレートの微小変化をいつものように、任意のパラメータとウィーナー過程によって、 \[df=kdt+cdX \] と表すことを考えるだろう。そこで債券の微小変化が対数正規分布に従い、 \[ dB=rBdt+\sigma BdX \] となっており、市場が無裁定で、リスク中立確率の下でのフォワードレートの微小変化が求められたらば、その解は、 \[df= \sigma_{T}\frac{\partial \sigma_{T}}{\partial T}dt+\frac{\partial \sigma_{T}}{\partial T}dX_t \] となっていることを意味する。つまり、 \[ K=\sigma_{T}\frac{\partial \sigma_{T}}{\partial T},\qquad c=\frac{\partial \sigma_{T}}{\partial T} \]
すなわち、ドリフトも拡散項も固有の変数ではなくなり、債券のボラティリティ（拡散項）の関数として表されることになる。
リスク中立確率の下でフォワードレートのドリフトが制約を受けることは自然だが、その条件はボラティリティに従うということになるのである。
HJMモデルは積分を利用して次のような表現とすることもある。 \begin{eqnarray*} & & c=\frac{\partial \sigma_{T}}{\partial T}\quad である。ところが、\\ & & \int_t^T\left(\frac{\partial \sigma_{\tau}}{\partial T} \right)d\tau=\sigma_T-\sigma_t \\ & & だけれど、\sigma_t=0\quad となるので、\\ & & \sigma_T =\int_t^T\left(\frac{\partial \sigma_{\tau}}{\partial T} \right)d\tau=\int_t^Tc d\tau \\ & & 故に、\\ & & k=\frac{\partial \sigma_{T}}{\partial T}\int_t^T\left(\frac{\partial \sigma_{\tau}}{\partial T} \right)d\tau=c\int_t^Tc d\tau \\ & & より、簡略化して、\\ & & \qquad df=c\int c dt+c dX \end{eqnarray*} という、いっそう印象的な式とすることができる。ボラティリティ$c$への依存がより鮮明となる。
株価の微小変化のドリフトがリスク中立確率のもとでは投資家の期待から切り離されて安全資産利子率となったが、 フォワードレートのドリフトは債券のボラティリティの関数となるのである。
ブラック・ショールズ式が突き詰めるところ未知のボラティリティだけに依存するように、 HJMモデルも唯一ボラティリティに依存するモデルとなるのであって、HJMモデルがブラック・ショールズの拡張と呼ばれるのはこの式の所以である。
ではさらに進んで、このフォワードレートとショートレートとの関係を導こう。そのためにまずフォワードレートを$[0,t]$の積分で表示すれば、 \begin{eqnarray*} & & f(t,T)= f(0,T)+\int_0^tk(u,T)du+\int_0^tc(u,T)dX_u \\ &=& f(0,T)+\int_0^t\left(\sigma(u,T)\frac{\partial \sigma(u,T)}{\partial T} \right)du+\int_0^t\left(\frac{\partial \sigma(u,T)}{\partial T} \right)dX_u \end{eqnarray*} となる。
そしてフォワードレートを使えばショートレートは、 \begin{eqnarray*} & & r_t = \left.f(t,T) \right|_{T=t}=f(t,t) \\ &= & f(0,t)+\int_0^tk(u,t)du+\int_0^tc(u,t)dX_u \\ &= & f(0,t)+\int_0^t\left(\sigma(u,t)\frac{\partial \sigma(u,t)}{\partial t} \right)du+\int_0^t\left(\frac{\partial \sigma(u,t)}{\partial t} \right)dX_u \end{eqnarray*} となる。
さらに微小変化を求めよう。 \begin{eqnarray*} r_t&=&\left.f(t,T) \right|_{T=t}=\left.\phi(T,X)\right|_{T=t}\quad とおくと、\\ & & Tの扱いに注意して伊藤の補題から、\\ dr_t&=& \left.\frac{\partial \phi}{\partial T}dt+\frac{\partial \phi}{\partial X}dX+\frac{1}{2}\frac{\partial ^2\phi}{\partial X^2}(dX)^2 \right|_{T=t} \end{eqnarray*} であるから、フォワードレートの式を代入して各項を計算する。 \begin{eqnarray*} \left.\frac{\partial \phi}{\partial T}\right|_{T=t}&= & \frac{\partial }{\partial t}f(0,t)+\int_0^t\frac{\partial }{\partial t}k(u,t)du+\int_0^t\frac{\partial }{\partial t}c(u,t)dX_u \\ \left.\frac{\partial \phi}{\partial X}\right|_{T=t}&=& c(t,t) \\ \left.\frac{\partial ^2\phi}{\partial X^2}\right|_{T=t}&=& 0 \end{eqnarray*} より、ショートレートの微小変化は、 \begin{eqnarray*} dr_t&=& \left(\frac{\partial }{\partial t}f(0,t)+\int_0^t\frac{\partial }{\partial t}k(u,t)du+\int_0^t\frac{\partial }{\partial t}c(u,t)dX_u \right)dt+c(t,t)dX_t \end{eqnarray*} と求められる。
この式がショートレートの微小変化の基本となる。しかし他にもいくつかの表現ができる。 \begin{eqnarray*} df(t,t)&=& \left.df(t,T)\right|_{T=t}=k(t,t)dt+c(t,t)dX_t = c(t,t)dX_u \end{eqnarray*} となることを求めておく。何故なら$k(t,t)=0$である。そして、 \begin{eqnarray*} & & \frac{\partial f(t,t)}{\partial T}= \left.\frac{\partial f(t,T)}{\partial T}\right|_{T=t} \\ &=& \left.\frac{\partial }{\partial T}\left(f(0,T)+\int_0^tk(u,T)du+\int_0^tc(u,T)dX_u \right)\right|_{T=t} \\ &=& \frac{\partial }{\partial t}f(0,t)+\int_0^t\frac{\partial }{\partial t}k(u,t)du+\int_0^t\frac{\partial }{\partial t}c(u,t)dX_u \end{eqnarray*} であるから、ショートレートの微小変化はフォワードレートによって、 \begin{eqnarray*} dr_t&=& \left\{\frac{\partial f(0,t)}{\partial t}+\int_0^t\left(\frac{\partial \sigma(u,t)}{\partial t}\right)^2du+\int_0^t\left(\sigma(u,t)\frac{\partial^2 \sigma(u,t)}{\partial t^2}\right)du\right. \\ & & \quad \left.+\int_0^t\frac{\partial^2 \sigma(u,t)}{\partial t^2}dX_u \right\}dt+\left(\left.\frac{\partial \sigma(t,T)}{\partial T}\right|_{T=t} \right)dX_t \\ &=& \frac{\partial f(t,t)}{\partial T}dt+c(t,t)dX_u \\ &=& \frac{\partial f(t,t)}{\partial T}dt+df(t,t) \end{eqnarray*} と表され、このいずれでもよい。
単純な置き換えによる$dr_t=\left.df(t,T)\right|_{T=t}$とはならないことを押さえておかれたい。
やはりリスク中立確率の下ではショートレートのパラメータも債券価格の拡散項の関数となる。 そしてHJMモデルからショートレートの微小変化を求めるためには、フォワードレートの微小変化に加えて、 フォワードレートの初期曲線$f(0,t)$が必要となる。
逆にフォワードレートの微小変化と初期曲線が与えられれば、そこからリスク中立確率のショートレートが得ることができる。 フォワードレートのパラメータの有り様によって、さまざまなショートレートが統一的に表現できることが感じられるであろうか。
とはいえ実務上の問題は第1行目の右辺にあって、簡単にいえばドリフト項が不確実変化量を含めた過去の様々な値から成るということである。 これを非マルコフ性という。
HJMモデルはショートレートが非マルコフとなるのである。非マルコフ性は数値計算の量が多量となることが一番の問題となるが、 二項モデルに簡略化したときに、再結合しないなどの面倒も発生させる。このためHJMモデルにマルコフ性をもたらす諸条件の研究も進んでいる。
ところで、目標とする債券価格は、 \begin{eqnarray*} B_t&=& E_q\left[-\int_t^Tr_udu\right] =e^{-\int_t^Tf(t,v)dv} \\ & & であるから、 \\ g(t,T,r_t)&=&-\log B_t=-\log E_q\left[-\int_t^Tr_udu\right]=\int_t^Tf(t,u)du \\ & & とおけば、 \\ f(t,T)&=& -\frac{\partial }{\partial T}\left( \log E_q\left[-\int_t^Tr_udu\right]\right)=\frac{\partial g(t,T,r_t)}{\partial T} \end{eqnarray*} となり、フォワードレートはショートレートの関数としてみることができる。すると伊藤の補題で、 \[ df=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial r_t}dr_t+\frac{1}{2}\frac{\partial ^2f}{\partial r_t^2}(dr_t)^2 \] となる。もしこれまでのようにショートレートの微小変化を、 \[dr=mdt+sdW \] とするところからスタートしていれば、$dr_t$と偏微分項の$f$に代入すると、 \begin{eqnarray*} df &= & \frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial g}{\partial T} \right)dt+\frac{\partial }{\partial r_t}\left(\frac{\partial g}{\partial T} \right)dr_t+\frac{1}{2}\frac{\partial ^2}{\partial r_t^2}\left(\frac{\partial g}{\partial T} \right)(dr_t)^2\\ &= &\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial g}{\partial T} \right)dt+\frac{\partial }{\partial r_t}\left(\frac{\partial g}{\partial T} \right)(mdt+sdW_t)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^2}{\partial r_t^2}\left(\frac{\partial g}{\partial T} \right)(s^2dt) \\ &= &\left( \frac{\partial^2 g}{\partial t\partial T}+m\frac{\partial^2 g}{\partial r_t\partial T}+\frac{1}{2}s^2\frac{\partial^3 g}{\partial r_t^2\partial T}\right)dt+s\frac{\partial^2 g}{\partial r_t\partial T}dW_t \end{eqnarray*} となる。この拡散項はもとのものと等しいはずであるから、 \begin{eqnarray*} & & c(t,T)=\frac{\partial \sigma(t,T)}{\partial T}=s\frac{\partial^2 g}{\partial r_t\partial T} \quad よりまた、 \\ & & \int_t^Tc(t,\tau) d\tau= s\frac{\partial g}{\partial r_t}\quad となって、\\ df&=&s^2\frac{\partial g}{\partial r_t}\frac{\partial^2 g}{\partial r_t\partial T}dt+s\frac{\partial^2 g}{\partial r_t\partial T}dW_t \\ &=&s^2\frac{\partial \log B_t}{\partial r_t}\left(\frac{\partial^2 \log B_t}{\partial r_t\partial T}\right)dt+s\left(\frac{\partial^2 \log B_t}{\partial r_t\partial T}\right)dW_t \end{eqnarray*} とすることもできる。
煩雑なよく似た式表現が繰り返されてかえって分かりにくくなったら申し訳ないが、わざわざ複数の形式を掲げたのは、 繰り返される微積分によって、どれも分かりやすい簡略化された形式の解に到るかどうかは分からないからであって、 多様な道筋でチャレンジする必要に応えたいと考えたからである。