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ヒース・ジャロー・モートンモデルの適応

前項では、基礎概念の理解のために抽象的な関数変換の議論ばかりが続いたので、 具体的なモデルでヒース・ジャロー・モートンモデル（HJM：フォワードレートモデル）の公式の適応を確認をしてみよう。 これまで述べたショートモデルがHJMモデルでどのように表現されるかを見るということである。

最初はホー・リーモデルで試みる。ホー・リーモデルはすでに先の項で次の形式であることまではわかっている。 \begin{eqnarray*} B_t &=& \exp\left\{-\int_t^T(T-s)\theta_sds+\frac{1}{6}s^2(T-t)^3-r_t(T-t) \right\} \\ ただし、& & \\ & & dr_t = \theta_t dt+sdX_t\quad （on\quad q） \\ & & \theta_t はtの関数、s は所与 \end{eqnarray*}

債券価格の微小変動を求めよう。HJMではリスク中立確率の下で$dB=rBdt+\sigma BdX$と仮定したが、 ショートレートモデルでは、自然確率の下で$dB=\mu Bdt+\sigma BdW$であるところからスタートしていた。

リスク中立確率の下では当然ドリフトは$r$となることは明らかだが、拡散項の形式を得ておかねばならない。$B=B(t,r_t)$として伊藤の補題から、 \[dB_t=\frac{\partial B_t}{\partial t}dt+\frac{\partial B_t}{\partial r_t}dr_t+\frac{1}{2}\frac{\partial ^2B_t}{\partial r_t^2}(dr_t)^2 \] なので、各偏微分項を計算すると \begin{eqnarray*} \frac{\partial B_t}{\partial t} &= &B_t\left\{r_t-\frac{1}{2}s^2(T-t)^2+(T-t)\theta_t \right\} \\ \frac{\partial B_t}{\partial r_t} &= &-B_t(T-t) \\ \frac{\partial ^2B_t}{\partial r_t^2} &= &B(T-t)^2 \end{eqnarray*} となる。ただし、 \[ \frac{\partial }{\partial t}\int_t^T(T-s)\theta_sds=-(T-t)\theta_t \] を利用している。従って、 \begin{eqnarray*} dB_t &= &B_t\left\{r_t-\frac{1}{2}s^2(T-t)^2+(T-t)\theta_t \right\}dt \\ & & \quad -B_t(T-t)(\theta_t dt+sdX_t)+\frac{1}{2} B_t(T-t)^2s^2dt\\ &=&r_tB_tdt-s(T-t)B_tdX_t % &=&r_tB_tdt+s(T-t)BdX_t \end{eqnarray*} となる。予想通りドリフトは$r$となっている。そしてHJMモデルにおけるボラティリティ関数は、 \[ \sigma(t,T)=-s(T-t) \] となった。

本来HJMモデルは、この債券の微小変化からスタートする。したがって、 \begin{eqnarray*} c&=& \frac{\partial \sigma(t,T)}{\partial T}=-s \\ k&=& \frac{\partial \sigma(t,T)}{\partial T}\int_t^T\left(\frac{\partial \sigma(t,T)}{\partial T} \right)=s^2(T-t) \\ \end{eqnarray*} となるので、ウィーナー項の符号を鏡像原理で反転させておくと、 \[df(t,T)=s^2(T-t)dt+sdX_t \] と直ちに求められる。すでにホー・リーモデルのフォワードレート$f=f(t,T)$は先の項で得られていて、 \begin{eqnarray*} & & f(t,T) = r_t-\frac{1}{2}s^2(T-t)^2+\int_t^T\theta_sds \\ \end{eqnarray*} であるから、これから直接計算すると$f=f(t,r_t)$として伊藤の補題によって、 \begin{eqnarray*} & & df(t,r_t) = \frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial r_t}dr_t+\frac{1}{2}\frac{\partial ^2f}{\partial r_t^2}(dr_t)^2 \\ & &\frac{\partial f}{\partial t}=s^2(T-t)-\theta_t,\quad \frac{\partial f}{\partial r_t}=1,\quad \frac{\partial ^2f}{\partial r_t^2}=0\quad より、 \\ &= &\left(s^2(T-t)-\theta_t \right)dt+(\theta_t dt+sdX_t) \\ &= &s^2(T-t)dt+sdX_t \end{eqnarray*} となり、等しいことが確かめられる。さらに、 \begin{eqnarray*} & & g(t,T,r_t)= \int_t^Tf(t,u)du \\ &=& \int_t^T\left(r_t-\frac{1}{2}s^2(u-t)^2+\int_t^u\theta_sds \right)du \\ &=& r_t(T-t)-\frac{1}{6}s^2(T-t)^3+\int_t^T\!\int_t^u\theta_sdsdu \\ &=& r_t(T-t)-\frac{1}{6}s^2(T-t)^3+\int_t^T(T-s)\theta_sds \end{eqnarray*} となる。これは改めて計算するまでもなく、$B_t$の指数部分である。それで、 \[s\frac{\partial^2 g}{\partial r_t\partial T}=s,\qquad s\frac{\partial g}{\partial r_t}=s(T-t) \] となるので、同一の$df$が求められる。

またさらに、$\log B_t$を利用した式からは目視でも等しいことがわかる。

逆にもしHJMモデルとして、 \[df(t,T) = s^2(T-t)dt+sdX_t \] と、初期曲線$f(0,t)$が、 \[ f(0,t)= r_0-\frac{1}{2}s^2t^2+\int_0^t\theta_sds \] として与えられれば、 \[ \frac{\partial ^2\sigma(t,T)}{\partial T^2}=0 \] なので、$dr_t$の1行目の式を使って、 \[ dr_t = \left\{-s^2t+\theta_t+\int_0^ts^2du \right\}dt-sdX_t= \theta_tdt+sdX_t \] と求められる。最後の行は符号を反転させた。あるいは、$dr_t$の3行目の式を使って、 \begin{eqnarray*} \frac{\partial f(t,t)}{\partial T}&=& \left.\frac{\partial f(t,T)}{\partial T}\right|_{T=t} = \left.-s^2(T-t)+\theta_T\right|_{T=t} =\theta_t \\ df(t,t) &=&\left.df(t,T)\right|_{T=t} =sdX_t \quad より、\\ dr_t&=& \frac{\partial f(t,t)}{\partial T}dt+df(t,t) =\theta_tdt+sdX_t \end{eqnarray*} でも同じである。

従って、ホー・リーモデルはHJMモデルによって、 \begin{eqnarray*} df(t,T)&=& s^2(T-t)dt+sdX_t \\ f(0,t)&=& r_0-\frac{1}{2}s^2t^2+\int_0^t\theta_sds \end{eqnarray*} と表すことができる。そして前提とするリスク中立確率の下での債券価格の微小変化は \[dB_t=r_tB_tdt+s(T-t)BdX_t \] である。

続いてハシェックモデルをHJMモデルで表現してみよう。ハシェックモデルは次の形式であることが分かっている。 \begin{eqnarray*} B_t &=& \exp\left\{-\beta r_t+\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)\left(\beta -(T-t)\right)-\frac{s^2}{4a}\beta^2 \right\} \\ ただし、& & \\ & & \beta = \frac{1}{a}\left(1-e^{-a(T-t)}\right) \\ & & dr_t = a(b-r_t)dt+sdX_t\quad （on\quad q：リスク中立確率） \\ & & a.b.s は所与 \end{eqnarray*} そこでリスク中立確率の下での債券価格の微小変化を求めておく。

ドリフトは計算を積み上げると結局は$r_t$となると考えて省略しよう。 もし疑念をもたれるならばそれは非常に立派なことなので、ぜひ練習のつもりで確認計算されるとよい。

先に進むならばウィーナー項だけを計算すればよいので、伊藤の補題の一部の項を利用して、 \[\frac{\partial B_t}{\partial r_t}dr_t = -\beta B_t \left(a(b-r_t)dt+sdX_t \right) \] だけを求めておくと、$dB=rBdt+\sigma BdX$との係数の関係から符号反転させて、 \[\sigma (t,T)=s\beta=\frac{s}{a}\left(1-e^{-a(T-t)}\right) \] となるので、債券価格の微小変化は、 \[dB_t=r_tB_tdt+ \frac{s}{a}\left(1-e^{-a(T-t)}\right) B_tdX_t \] となる。

また、 \[\frac{\partial \sigma_T}{\partial T}=se^{-a(T-t)} \] であるから、故にフォワードレートの微小変化が、 \[df(t,T)=\frac{s^2}{a}e^{-a(T-t)}\left(1-e^{-a(T-t)}\right)dt+se^{-a(T-t)}dX_t \] と得られる。ハシェックモデルのフォワードレートは先の項で、 \begin{eqnarray*} f(t,T)&=& r_te^{-a(T-t)}+\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)\left(1-e^{-a(T-t)}\right)+\frac{s^2}{2a^2}e^{-a(T-t)}\left(1-e^{-a(T-t)}\right) \end{eqnarray*} と得られている。

ここから$df(t,T)$を計算して上と等しいことを確認するのも伊藤の補題の計算練習になろう。この式の変数を修正して、 \[f(0,t)=r_0e^{-at}+\left(b-\frac{s^2}{2a^2} \right)\left(1-e^{-at}\right)+\frac{s^2}{2a^2}e^{-at}\left(1-e^{-at}\right) \] である。これでハシェックモデルがHJMモデルによって表現できた。

CIRモデルをHJMモデルによって表現してみよう。CIRモデルは次の形式であることが分かっている。 \begin{eqnarray*} B_t&=&\left[\frac{2\rho e^{(a+\rho)(T-t)/2}}{\psi} \right]^{\frac{2ab}{s^2}} \exp \left[-\frac{2(e^{\rho(T-t)}-1)}{\psi}r_t \right] \\ ただし、& & \\ & &\rho = \sqrt{a^2+2s^2} \\ & &\psi = (a+\rho)(e^{\rho(T-t)}-1)+2\rho \\ & & dr_t = a(b-r_t)dt+s\sqrt{r_t}dX_t\quad （on\quad q：リスク中立確率） \\ & & a.b.s は所与 \end{eqnarray*} やはりリスク中立確率の下での債券価格の微小変化を求める。伊藤の補題を一部利用して、 \[\frac{\partial B_t}{\partial r_t}dr_t = \left(-\frac{2(e^{\rho(T-t)}-1)}{\psi} \right) B_t \left(a(b-r_t)dt+s\sqrt{r_t}dX_t \right) \] 不確実項の係数だけを取り出せば、 \[\sigma(t,T)= -s\sqrt{r_t}\frac{2(e^{\rho(T-t)}-1)}{\psi} \] となって、債券価格の微小変化は、式表現として符号反転させて、 \[dB_t=r_tB_tdt+s\sqrt{r_t}\frac{2(e^{\rho(T-t)}-1)}{\psi}B_tdX_t \] となる。すると、 \[ \frac{\partial \sigma_T}{\partial T}=-\frac{4\rho^2e^{\rho(T-t)}}{\psi^2}s\sqrt{r_t} \] なので、フォワードレートの微小変化は、 \[df(t,T)=s^2r_t\frac{8\rho^2\left(e^{\rho(T-t)}-1 \right)e^{\rho(T-t)}}{\psi^3}dt+s\sqrt{r_t}\frac{4\rho^2e^{\rho(T-t)}}{\psi^2}dX_t \] となる。

この妥当性を確認するには、すでに先の項で、フォワードレートそのものが、 \begin{eqnarray*} f(t,T)&= & \frac{2ab\left(e^{\rho(T-t)}-1 \right)}{\psi} +\frac{4\rho^2e^{\rho(T-t)}}{\psi^2}r_t \\ f(0,t)&=& \frac{2ab\left(e^{\rho t}-1 \right)}{(a+\rho)(e^{\rho t}-1)+2\rho}+\frac{4\rho^2e^{\rho t}}{\left((a+\rho)(e^{\rho t}-1)+2\rho \right)^2}r_0 \end{eqnarray*} と得られているので、伊藤の補題で、 \[ df=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial r_t}dr_t+\frac{1}{2}\frac{\partial ^2f}{\partial r_t^2}(dr_t)^2 \] として、1行目の式から、 \begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial t}dt&= & \frac{4\rho^2e^{\rho(T-t)}}{\psi^3}\left\{-(ab+r_t\rho)\psi+2r_t\rho(a+\rho)e^{\rho(T-t)} \right\}dt\\ \frac{\partial f}{\partial r_t}dr_t&= & a(b-r)\frac{4\rho^2e^{\rho(T-t)}}{\psi^2}dt +s\sqrt{r_t}\frac{4\rho^2e^{\rho(T-t)}}{\psi^2}dX_t\\ \frac{\partial ^2f}{\partial r_t^2}dr_t^2&= & 0 \end{eqnarray*} を求めておき、その合計を計算すればよい。HJMモデルによる計算の簡便さがよくわかると思う。

逆に求められたフォワードレートの微小変化の式から、 \[df(t,t)=s\sqrt{r_t}dX_t \] なので、 \begin{eqnarray*} \left.\frac{\partial f(t,T)}{\partial T}\right|_{T=t}&=& \frac{1}{\psi^2}\left\{2abe^{\rho(T-t)}\rho\psi-2ab(e^{\rho(T-t)}-1)(a+\rho)e^{\rho(T-t)}\rho \right\}\\ & & \left.+\frac{1}{\psi^4}\left\{4\rho^2r_te^{\rho(T-t)}\rho\psi^2-4\rho^2r_te^{\rho(T-t)}2\psi(a+\rho)e^{\rho(T-t)}\rho \right\}\right|_{T=t} \\ &=& ab-ar_t \end{eqnarray*} を求めておけば、 \begin{eqnarray*} dr_t&=&\frac{\partial f(t,t)}{\partial T}dt+df(t,t) \\ &=& a(b-r_t)dt+s\sqrt{r_t}dX_t \end{eqnarray*} であることも確認できる。これでHJMによるCIRモデルの表現とその検証がいちおう完結したと思われる。

途中省略した計算や、ここに挙げなかった他の関係式をいろいろとチェックされ、整合性を見られるとよいだろう。