多数資産の組み入れ
説明と議論は簡便さと簡明さを狙って、2資産で進めることが多いが、より現実に近づけようとすると、 多数の個別資産を組み入れたポートフォリオが求められる。 このとき簡潔さを維持しようとすると、線形代数の力を借りることが有効である。 最低限の表記について触れておこう。
n個の資産の組からなるポートフォリオがあるとしよう。その組を構成するn個の収益率、n個の投資比率はベクトルで、 \[ r=(r_1,r_2,\cdots, r_n) \] \[ w=\left(\begin{array}{c} w_1\\ w_2 \\ \vdots \\ w_n \end{array}\right)\] とする。
ポートフォリオの収益率は直ちに、 \[ r_p=r\cdot w=w_1r_1+w_2r_2+\cdots +w_nr_n \] となる。$w\cdot r$はベクトルの内積としてもよいし、行列の積とみてもよい。
リスクについてはちょっと面倒になるので、先に3資産の場合をやっておくと、 \[ \sigma_p^2=w_1^2\sigma_1^2+w_2^2\sigma_2^2+w_3^2\sigma_3^2+2w_1w_2\sigma_{12}+2w_1w_3\sigma_{13}+2w_2w_3\sigma_{23} \] となる。さらに相関係数$\rho$を導入すれば、 \[ \sigma_p^2=w_1^2\sigma_1^2+w_2^2\sigma_2^2+w_3^2\sigma_3^2+2w_1w_2\sigma_1\sigma_2\rho_{12}+2w_1w_3\sigma_1\sigma_3\rho_{13}+2w_2w_3\sigma_2\sigma_3\rho_{23} \] となる。この式をじっと見て、対称性に注目しておく。
ここで二つの行列を定義する。標準偏差による対角行列を、 \[ \sigma=\left(\begin{array}{ccc} \sigma_1 &0 &0 \\ 0 &\sigma_2 &0 \\ 0 &0 &\sigma_3 \end{array}\right)\] とし、相関行列を、 \[ \rho=\left(\begin{array}{ccc} 1 &\rho_{12} &\rho_{13} \\ \rho_{12} &1 &\rho_{23} \\ \rho_{13} &\rho_{23} &1 \end{array}\right)\] すると、分散共分散行列$\Sigma$が定義できる。 \[ \Sigma=\sigma\rho\sigma=\left(\begin{array}{ccc} \sigma_1^2 &\sigma_1\sigma_2\rho_{12} &\sigma_1\sigma_3\rho_{13} \\ \sigma_1\sigma_2\rho_{12} &\sigma_2^2 &\sigma_2\sigma_3\rho_{23} \\ \sigma_1\sigma_3\rho_{13} &\sigma_2\sigma_3\rho_{23} &\sigma_3^2 \end{array}\right)\] これは相関係数を消して元に戻すと、 \[ \Sigma=\left(\begin{array}{ccc} \sigma_1^2 &\sigma_{12} &\sigma_{13} \\ \sigma_{12} &\sigma_2^2 &\sigma_{23} \\ \sigma_{13} &\sigma_{23} &\sigma_3^2 \end{array}\right)\] ということである。多重正規分布などでも登場する。
さらにこの分散共分散行列を使って、ポートフォリオのリスクの式が得られる。 \[ \sigma_p^2=w^t\Sigma w=(w_1,w_2,w_3)\left(\begin{array}{ccc} \sigma_1^2 &\sigma_{12} &\sigma_{13} \\ \sigma_{12} &\sigma_2^2 &\sigma_{23} \\ \sigma_{13} &\sigma_{23} &\sigma_3^2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} w_1\\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right)\] ここで$w^t$の上付き$t$は転置行列を表す。
これではまったく後付の説明になるので、行列をつかった計算によるリスクの導出もやっておこう。 計算が簡単になるように、配分比率$w$と同様に、収益率$r$も縦ベクトルに変えておく。 \[ r=\left(\begin{array}{c} r_1\\ r_2 \\ \vdots \\ r_n \end{array}\right)\]
$w$はそのままとすると、ポートフォリオの収益率は、掛ける順を正しく行列の積で書くと、 \[ r_p=w^tr \] とできるので、定義どおりに進んで形式的にやれば、 \begin{eqnarray*} \sigma_p^2&=& V(r_p)=V(w^tr)\\ &=& E\left\{(w^tr-w^tE(r))(w^tr-w^tE(r))^t\right\}\\ &=& E\left\{ w^t(r-E(r))(r-E(r))^tw \right\}\\ &=& w^tE\left\{ (r-E(r))(r-E(r))^t \right\}w\\ &=& w^t\Sigma w \end{eqnarray*} となる。
上のとおり3資産ならば、縦×横ベクトルとなるので慌てるけれど、 \[ (r-E(r))(r-E(r))^t= \] \[ \left(\begin{array}{ccc} (r_1-E(r_1))^2 &(r_1-E(r_1))(r_2-E(r_2)) &(r_1-E(r_1))(r_3-E(r_3)) \\ (r_2-E(r_2))(r_1-E(r_1)) &(r_2-E(r_2))^2 &(r_2-E(r_2))(r_3-E(r_3)) \\ (r_3-E(r_3))(r_1-E(r_1)) &(r_3-E(r_3))(r_2-E(r_2)) &(r_3-E(r_3))^2 \end{array}\right)\] となることを注意しておこう。
これで組み込む資産の数がn個にまで拡張されても、収益率とリスクが、 \[ r_p=w^tr \] \[ \sigma_p^2=w^t\Sigma w \] と簡単に表記できるようになって、行列の演算規則がそのまま使えるようになった。