CAPM（Capital Asset Pricing Model）
CAPMはいまなおファイナンスの基本的な命題であろう。株式のβ（ベータ）という言葉は 金融に近い者ならば誰もが見聞きしているだろう。その式は次のように表される。 \[ r_i=\beta(r_m-r_f)+r_f \] ここで、$r_i$はある資産（株式）の収益率、$r_f$は安全資産収益率である。$r_m$は市場ポートフォリオの 収益率と呼び、ポートフォリオの最適化で触れたリスク資産の組によって独立に定まるもの$(M_p)$である。
CAPMはその名のとおりモデルであって、上の式を見れば明らかなとおり、 ある銘柄の収益率$r_i$は$\beta$と呼ばれる係数が見つかれば、市場全体の超過収益率$(r_m-r_f)$との間で、 線形関係にあるという驚くべき結果を主張する。
前置きはいろいろあるのだが、概念の説明をどんどん積み上げていくよりも、まずは中心となるCAPMの式を 導出することからはじめることとしよう。
まず任意の資産$i$と市場ポートフォリオ$m$との組合せを考える。この組合せの収益率とリスクは次のように定義される。 \begin{eqnarray*} r_p &=& wr_i + (1-w)r_m \\ \sigma_p^2 &=& w^2\sigma_i^2+(1-w)^2\sigma_m^2+2w(1-w)\sigma_{im} \end{eqnarray*} 右辺最後の項の$\sigma_{im}$はこの資産$i$と市場ポートフォリオとの共分散を表す。
導出計算の見通しを述べておこう。任意の資産と市場ポートフォリオの組合せは、 ポートフォリオマネジメントの第二段階、二つのリスク資産のポートフォリオであるから、 構成比率を変化させるとリスクとリターンの関係は双曲線を描く。
双曲線の接線の傾きは構成比率によって刻々と変化する。この双曲線で投資全額を市場ポートフォリオに配分した時の接線の傾きは、 安全資産と市場ポートフォリオを結んだ直線の傾きに等しくなるはずである。 式の導出はこの等号関係を利用するところにアイデアがある。
上の図において、太い双曲線が市場全体のリスク資産がもたらすリスクと収益率のフロンティアである。 そして、その内側にある細い双曲線が、上で定義した任意のリスク資産と市場ポートフォリオの 組み合わせによるリスクと収益率のフロンティアである。市場ポートフォリオはMpで表されている。 この図を見れば計算の内容が豁然とするだろう。
CAPMの導出
いずれも市場ポートフォリオ$M_p$が位置するリスク・収益率での接線がポイントになる。 そこで、接線の傾きを表す$\partial r_p/\partial \sigma_p$を求めるために、定義した二つの式を比率$w$で微分しておく。 \begin{eqnarray*} \frac{d r_p}{dw}&= &r_i-r_m \\ \frac{d \sigma_p}{dw}&= &\frac{1}{2}\left(w^2\sigma_i^2+(1-w)^2\sigma_m^2+2w(1-w)\sigma_{im} \right)^{-1/2}\\ & &\quad \times \left( 2w\sigma_1^2-2(1-w)\sigma_m^2+2\sigma_{im}-4w\sigma_{im} \right) \end{eqnarray*}
ここで強引に一つ目の式を二つ目の式で割って、微分したあとに$w=0$とおけば、 全額を市場ポートフォリオに配分したものと考えることができる。 \[ \frac{\left.\frac{d r_p}{dw}\right|_{w=0}}{\left.\frac{d \sigma_p}{dw}\right|_{w=0}}=\left.\frac{\partial r_p}{\partial \sigma_p}\right|_{w=0}=\frac{r_i-r_m}{\frac{-\sigma_m^2+\sigma_{im}}{\sigma_m}} \] この結果を得ておいた上で、安全資産と市場ポートフォリオの組み合わせは、 ポートフォリオマネジメントの第一段階のとおり、次の様な関係であることがわかっている。 \[ r_p=\frac{r_m-r_f}{\sigma_m}\sigma_p+r_f \] この直線の傾きは、先ほど微分して求めた接線の傾きに等しいはずだから、 \[ \frac{r_m-r_f}{\sigma_m}=\frac{r_i-r_m}{\frac{-\sigma_m^2+\sigma_{im}}{\sigma_m}} \]
これを整理すれば、 \[ r_i=(r_m-r_f)\frac{\sigma_{im}}{\sigma_m^2}+r_f \] となるので、 \[ \beta=\frac{\sigma_{im}}{\sigma_m^2} \] と置けば、CAPMの式が得られている。
CAPMの式が得られる考え方に加えて、ベータ$\beta$とは、 資産と市場ポートフォリオの共分散を市場ポートフォリオの分散で割ったものであることが分かった。