リスクプレミアムとCAPM

CAPMにリスク中立確率を利用すると収益率に含まれるリスクプレミアムが浮き上がってきた。 このリスクプレミアムをもう少し議論してみよう。CAPMの式は、 \[ r_i=(r_m-r_f)\beta+r_f,\qquad \beta=\frac{\sigma_{im}}{\sigma_m^2} \] であった。

これを得るために利用した、一つ前のポートフォリオマネジメントの第一段階の市場ポートフォリオと 安全資産とのポートフォリオの式に戻ると、 \[ r_p=\frac{r_m-r_f}{\sigma_m}\sigma_p+r_f \] となっており、変形すると、 \[ \frac{r_p-r_f}{\sigma_p}=\frac{r_m-r_f}{\sigma_m} \] とすることができる。この式の右辺は市場ポートフォリオという特定のポートフォリオのリスク一単位あたりの 超過収益率であるから、定数と考えることができるのでλとおこう。ところが、 左辺は効率的である(直線上に乗っている)ならばどのようなリスク資産のポートフォリオでもよいのだから、 \[ \frac{r_p-r_f}{\sigma_p}=\lambda \] とは、市場が均衡していると、市場ポートフォリオを含めて、 すべての効率的なポートフォリオのリスク一単位あたりの超過収益率は一定の値になっていることを意味している。 この$\lambda$のことをリスクの市場価格、あるいはシャープメジャーというのであった。

 

 

CAPMの異なる求め方

個別の資産とリスクの市場価格の関係を調べながら、CAPMを異なる道筋で求めてみよう。

ポートフォリオマネジメントの第三段階では、効率的なリスク資産のポートフォリオの配分比率を求めるために、 安全資産とリスク資産のポートフォリオを結ぶ直線の傾き$(r_c-r_f)/\sigma_c$を最大化した。

\begin{eqnarray*} \max& &\quad z=\frac{r_c-r_f}{\sigma_c}, \\ &\mbox{s.t.} &\quad w\cdot\mathbf{1}=1,\\ & &\quad r_c(w)=w\cdot r,\\ & &\quad\sigma_c^2(w)=w^t\Sigma w \end{eqnarray*}

この考え方をそのまま利用して、2資産$(i=1,2)$のポートフォリオについては次のような関係を導くことができる。 \[ r_1-r_f=\frac{r_m-r_f}{\sigma_m^2}(w_1\sigma_1^2+w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2) \] その計算はまず、 \[ r_c-r_f=w_1(r_1-r_f)+w_2(r_2-r_f) \] としておいて、$z$を$w_1$で微分してゼロと置く。

\begin{eqnarray*} \frac{\partial z}{\partial w_1}&=&\frac{1}{\sigma_c^2}((r_1-r_f)\sigma_c-w_2(r_2-r_f)\sigma_c')=0 \end{eqnarray*} なので、 \[ \sigma_c'=\frac{1}{2\sigma_c}(2w_1\sigma_1^2+2w_2\sigma_1\sigma_2\rho_{12}) \] を代入すると、 \[ (r_1-r_f)\sigma_c^2-(w_1(r_1-r_f)+w_2(r_2-r_f))(w_1\sigma_1^2+w_2\sigma_1\sigma_2\rho_{12})=0 \] 故に、 \[ r_1-r_f=\frac{r_c-r_f}{\sigma_c^2}(w_1\sigma_1^2+w_2\sigma_1\sigma_2\rho_{12}) \]

これは任意の効率的リスク資産のポートフォリオに成立するので、当然市場ポートフォリオにおいても成立する。 したがって上の関係を得ることになる。

ところが上式の右辺の最後の括弧の中は、リスク資産1と市場ポートフォリオの共分散、 \[ \sigma_{1m}=Cov(r_m,r_1)= w_1\sigma_1^2+w_2\sigma_1\sigma_2\rho_{12} \] である。なんとなれば、

\begin{eqnarray*} Cov(r_m,r_1)&=& E(r_m-E(r_m))(r_1-E(r_1))\\ &=& E(w_1r_1+w_2r_2-w_1E(r_1)-w_2E(r_2))(r_1-E(r_1))\\ &=& E(w_1(r_1-E(r_1))+w_2(r_2-E(r_2)))(r_1-E(r_1))\\ &=& w_1E(r_1-E(r_1))^2+w_2E(r_1-E(r_1))(r_2-E(r_2))\\ &=& w_1\sigma_1^2+w_2\sigma_1\sigma_2\rho_{12} \end{eqnarray*} となるからである。それで、これを使って、

\[ r_1-r_f=\frac{r_m-r_f}{\sigma_m^2}\sigma_{1m}=\beta(r_m-r_f) \] となる。$r_1$は任意なので、$r_i$と置き換えることができて、 \[ r_i=\beta(r_m-r_f)+r_f,\qquad \left(\beta=\frac{\sigma_{im}}{\sigma_m^2}\right) \] であるから、すなわち、CAPMの式が得られた。

つまり、市場のポートフォリオがすべて効率的になっていて、その中でリスク当たりの超過収益率を最大とすれば、 CAPMは得られることとなる。

さらに、相関係数$\rho$によって、$\sigma_{1m}=\rho_{1m}\sigma_1\sigma_m$を使うと、 \[ r_1=r_f=\frac{r_m-r_f}{\sigma_m}\frac{\sigma_{1m}}{\sigma_m}=\frac{r_m-r_f}{\sigma_m}\rho_{1m}\sigma_1 \] なので、両辺を$\sigma_1$で割ると、 \[ \frac{r_1-r_f}{\sigma_1}=\frac{r_m-r_f}{\sigma_m}\rho_{1m}=\lambda\rho_{1m} \] となって、個別資産のリスクあたり超過収益率は、リスクの市場価格に相関係数を掛けたものとなることが分かる。

もし資産が効率的であるなら、安全資産と市場ポートフォリオを結んだ直線の上にあることになり、 このときこの資産のリスクあたりの超過収益率は$\lambda$となるから、$\rho_{1m}=1$となる。 効率的なポートフォリオ、効率的な資産は市場ポートフォリオと完全に正相関し、同一のリスク当りの超過収益率を持つこととなる。

 
































「リスクの計測」の項を参照されたい。
















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