確率空間
本格的な測度の紹介に入る前に、ここまでの項を整理しておこう。
確率変数$X$はある標本空間$\Omega$に属する様々な事象$w$を独立変数として、そのそれぞれに実数に値をとる関数であることから議論を開始した。 \[ X:w\in\Omega\rightarrow x\in\mathbb{R} \]
標本空間$\Omega$にはすべての確率的な結果$w$が含まれており、そのすべての結果が確率変数$X$で翻訳されて実数値$x$を生む。 確率変数はその中味を問わないので、勝手な値をとることができる。
コインの表裏に、$\left\{1,0 \right\}$を割り当てることも、$\left\{1,-1 \right\}$を割り当てることもできる。
すべての標本空間の要素に確率変数は実数値を割り当てることになるのだが、同時に確率的な事象のそれぞれに確率値が付随してくる。
しかし、確率値については、個々の事象の確率値だけではなく、適当な幅や事象の組み合わせに対する確率値を求める場合も多い。 統計における点推定や区間推定をイメージされればよいだろう。確率値はそのような柔軟な対応を可能にしたい。
それで、標本空間の要素に対応するのではなく、標本空間のすべての部分集合に対応していると考えたい。つまり、 \[ P:w\in\mathscr{F}\rightarrow p\in[0,1] \] とする。ここで$\mathscr{F}$は標本空間のすべての部分集合を要素とする集合である。この関数$P$を確率測度という。
確率論は将来に起きる事柄をいろんな面で予測する学問だが、その土台はすべておきうる結果が網羅されていることと、 その結果や結果の組に対して適当な確率値が漏れなく割り当たっているということが必要である。
確率変数は事象に対して勝手な関数を与えることができるが、その振る舞いは標本空間$\Omega$と、すべての事象の組$\mathscr{F}$と、 確率測度$P$が定まった上にある。
この土台となる三つ組みを、 \[ (\Omega,\mathscr{F},P) \] と表し、確率空間という。
どんどん進んでいくと、一言で済ましてしまうけれども、確率論は確率空間を定義することから出発することになる。
もっとも小さいといっていい確率空間はコイン1回投げのものだろう。この例では、 \begin{eqnarray*} \Omega &= &\left\{ H,T \right\} \\ \mathscr{F} &= & \left\{ H,T,\Omega,\phi \right\} \\ P &= &\left\{ \left(H,\frac{1}{2}\right),\left(T,\frac{1}{2}\right),\left(\Omega,1\right),\left(\phi,0\right) \right\} \end{eqnarray*} となる。最後の確率測度の表示は順序対（pair set）を使っているのであまりなじみがないかもしれないが、主旨は伝わるだろうし、 （離散型）関数は集合で表すとこういう感じになると思ってもらえればよい。
このように、所詮（事象の数が）有限の標本空間であれば、現実的にはともかく、理屈の上ではことごとく列挙することが可能であるから、 さほど大きな問題は生じないだろう。注意深い考慮をしなければならないのは、無限の標本空間となることはおおよそ想像に難くない。
無限の標本空間というと、途方もないと思うかもしれないが、例えば放射線パルスが、 規格化されて$[0,1]$の間でランダムに発生するというような実験を考えるとき、これはすでに無限な標本空間になっている。 有理数ではなく実数で考えるということは、すでに数学的な操作でしかないということも事実だが、 実数の適当な空間を取れば、それは無限な標本空間となるため、議論のかなりのケースは無限の標本空間になると考えられる。
確率論といえど、数学のテーブルに載せるためには、無限への拡張が基本にあることは避けられない道となっている。 この項は短いけれども、次項から、そのような紹介を始めていきたいと思う。