積分の定義

このところ関数が生み出す測度$M(f(x))$を考えている。変数のもっとも自然な測度は区間であったから、 関数の測度のもっとも素朴な発想はグラフと$x$軸が挟む面積つまり関数の積分であろう。適当な領域$x\in\Omega$を指定して、 \[ M(f(x))= \int_{x\in\Omega}f(x)dx \] であってほしいということからはじめた。

つまりすでによくしっているリーマン積分とそんなにかけ離れるのもおかしいということである。 一方でわれわれは測度にこだわりをもった議論をしているので、いっそう明示的な測度を適応した定義を模索している。 その試みの中で新たな発見があるのではないかという期待である。

そこで簡単なものから考えていくこととして、最初に取り上げたのは単関数$s$である。適当な区間$a_i$をイメージしていただいて、 $x\in a_i\subset \Omega$のときに適当な$d_i\in s(x)$をとることで、 \[ s(x)=\sum_{i=1}^n d_i 1_{a_i}(x) \] となるものを単関数といった。

単関数$s(x)$は定義関数$1_{a_i}(x)$を利用したので$a$のとり方でいくらでも細かくできるけれども、 所詮たかだか定数関数である。この単関数ならばその関数の測度を、 \[ M(s(x))= \sum_{i=1}^n d_i m(a_i) \] とすることは納得できるものだろう。もし右辺の測度を区間にとって複雑なことを想定しなければ、 \[ M(s(x))=\int_{x\in\Omega} s(x)dx \] となって期待している積分との整合性も取れている。

この単関数は単純なものだけれど、あにはからんや任意の正値な可測関数$f(x)\geq 0$には、 適当な単関数の増加列$0\lt s_1\leq \cdots \leq s_n\leq \cdots$ が存在して、 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} s_n(x)=f(x) \] が成り立つことが得られるのであった。

この定理は測度論の基礎を支える非常に重要なもののひとつとなることは理解できるだろう。 この定理に加えて、ある可測関数列がひとつの関数に(点)収束しているときに、 一様収束しない定義域をいくらでも小さな測度の領域に納めることができるというエゴロフの定理を援用しよう。

単関数はもちろん可測関数であるから、ふたつの定理を成立するように条件を整えれば、 \[ M(f(x))=\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n d_i^{(n)} m(a_i^{(n)}) \] となることが得られる。

見かけは何の変哲も無い式だろうけれど、いきなり論理がジャンプしたように感じるかもしれない。 厳密に考えるとまずいのだが、大雑把な話しをすれば、 一様収束しないところは測度が限りなく小さくできるので無視してしまえるのであるから、 計算上は気にしなくてよくなる。

面積、測度あるいは積分の議論に限れば、収束している関数列はほとんど一様収束する扱いができるところに繋がるのである。

繰返して補足しておくと、ある関数に収束する単関数の存在定理とエゴロフの定理を認めるならば、形式的に計算することで、 \begin{eqnarray*} M(f(x))&=&m\left(\lim_{n\rightarrow\infty} s_n(x) \right) \\ &=&m\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nd_i^{(n)}1_{a_i^{(n)}}(x) \right) \\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n m(a_i^{(n)}) \end{eqnarray*}

とできることが予想される。測度の完全加法性が利いてくる。 われわれはこれをあらたな関数の測度つまり積分の定義として採用することにする。そして、 \[ M(f(x))=\int_{x\in\Omega}f(x)m(dx) \qquad あるいは、\quad \int_{x\in\Omega}f(x)dm \] などという表記をするのである。

これで測度を明示した(ルベーグ)積分の定義を得ることができた。 最初に測度論を習ったときに積分の$m(dx)$はどういう意味だろうと思った方もおられるのではないだろうか。 要するに微小区間$dx$の区間の測度を$m$でとっていると理解されればよいだろう。

したがって、かなり強引だけれども、条件をうまく整えれば、 \[ M(f(x))=\int_{x\in\Omega} f(x)m(dx)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{x\in\Omega} s_n(x) m(dx) \] であることも予測できるだろう。

しかも決定的なことは、この式を書き換えると、 \[ \int_{x\in\Omega}\lim_{n\rightarrow\infty} s_n(x)m(dx)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{x\in\Omega} s_n(x) m(dx) \] が自然と登場していることである。

単関数は可測関数といっても特殊だろうと思われるだろうけれど、 まがりなりにも積分と極限の演算の計算順序の交換が可能となっているのである。 ならばきちんと議論を拡張できるのではないかと考えられよう。

そしてこの大方の予想を一般的な形式に拡張したものが次項で紹介するルベーグ収束定理となるのである。

 
























































































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