可測関数への収束
測度と積分の関係について考えている。2次元の実平面に関数が描かれたとき、$x$軸とグラフに挟まれた面積は積分で計算できるが、 測度は任意の集合の部分集合の何らかの大きさを測るものであるから、この面積も測度の一つとしてみることができるはずである。 では、この面積を測度としてとらえたとき、どのように考えるべきかということである。 そしてそこを足掛かりとして高次元の関数に展開しようという算段である。
もちろん一般的な測度の定義はすでに行われているので、何らかの測度を与えようとするならば、 その時その時に定義に立ち戻ればよいのだが、実数空間とその中にある関数に話を限定したとき、 イメージできるものを用意しておくことは理解するうえでも、実務的にも十分価値のあるものだろう。
関数として平面上のグラフをイメージしたとき、測度はやはりグラフとx軸が挟む面積すなわち積分を考えるのがまずふつうである。 すると従来の積分を測度によって見直すことであらたな展望が開けるのではないかということなのだが、 まったくかけ離れたものであっても困るのである。
そこで単関数s(x)を定義した。 \[ s(x)=\sum_{i=1}^n d_i\cdot 1_{a_i}(x) \]
単関数は階段関数とも呼ばれるが、要するに自在に定数を組み合わすことのできる関数である。 だからその関数の積分と測度$M$を、 \[ \int_{x\in \Omega} s(x)dx=\sum d_i m(a_i)\sim M(s(x))\qquad (\Omega=\cup a_i ) \] とすることはまったく自然だろう。
これで測度と積分のひとつの関係をつくることができた。$m(a_i)$は区間を表し、 $M(s(x))$は測度を表しているので誤解されないようにしていただきたい。
少し補足しておこう。リーマンによる積分が、$x$軸を細かい区間$\Delta_i$で刻んで、 その刻んだ区間の中で適当な1点$d_i\in \Delta_i$を選ぶことで、 \[ \sum_{i=1}^n f(d_i)\Delta_i \] というリーマン和を作り、これから$n\rightarrow \infty$とすることで、積分の値を求めた。
単関数を対象とする上の定義でははっきりとしてこないが、決定的なことは総和に使った$d_i$は$x$の値ではなく単関数$s(x)$の値となっている。
うえの測度を利用した積分では、$y$軸を細かい区間$d_i$に刻んで、関数$f(x)$を使ってこの$d_i$に対応する$x$軸の測度を求めている。
つまり、$d_i\in \Delta_i$として、 \[ \sum_{i=1}^n d_im( s^{-1}(\Delta_i)) \] と考えていることに驚嘆すべき発想の転換がある。
そしてこうすることで関数としての測度$M$に変数$x$の測度$m$をいろいろとることができる。 測度の抽象的な定義を満足するどのような関数としてとってもよい自由度が確保できる。
もし変数の測度$m$をふつうの区間にとればリーマン和に近いものともなっていることはいうまでもない。
われわれは積分に対するふたつの定義を得ることができた。その違いは$x$軸を細かく刻む方法と、$y$軸を細かく刻む方法である。
しかし$y$軸を刻む方法では、$x$軸を単に刻むだけではなくて、その刻んだ$x$軸に対して測度をさだめるという裁量が増えるのである。
ただ上の定義だけでは所詮単関数だけのものだと思われるかもしれない。 単関数と一般の関数との関係を明らかにしておかないと新たな発想の利用価値が上がらないだろう。
でもいつものアプローチを使って$n$を大きくして、階段の数を無限に増やして適当な$d_i$をとれば、 単関数をいろんな関数に近似させていくことができるだろうと予想することはたやすい。 測度は完全加法性を満たすものだからである。この見識を支える決定的な命題が次の定理である。
$f(x)$を可測関数とし、常に$f(x)\ge 0$であるとする。ある単関数の増加列、 \[ 0\leq s_1(x)\leq s_2(x)\leq \cdots \leq s_n(x)\leq \cdots \] があって、 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} s_n(x)=f(x) \] が成り立つ。
これで一般の（可測）関数への橋渡しを行うことができた。いきなり驚かれるだろうか。