リスクの市場価格
前項に続けて、裁定定理の補足として、リスクの市場価格との関係を紹介しよう。裁定定理とは次のような主張であった。
（１）市場にある資産（以下の例では３つの資産$S,B,C$）の将来の状態の種類に対応して、正の状態価格$z$が存在し、 \begin{eqnarray*} B&= &Be^rz_1+Be^rz_2 \\ S&= &S_1z_1+S_2z_2 \\ C&= &C_1z_1+C_2z_2 \end{eqnarray*} が成立するなら、市場は無裁定である。
（２）市場に裁定の機会が存在しないならば、正の状態価格$z$が存在する。
ここで、$B$は安全資産、$S,C$はリスク資産である。
リスクの市場価格
裁定定理が成立して市場が無裁定であるときに、リスクの市場価格が存在して、一定の値となることを簡単に説明しよう。 いまうえの二つのリスク資産はブラック・ショールズの株価過程に従うものとする。 \begin{eqnarray*} dS&= &\mu_sSdt+\sigma_sSdW_t \\ dC&= &\mu_cCdt+\sigma_cCdW_t \end{eqnarray*}
この二つの資産のリスク当り超過収益率は、 \begin{eqnarray*} M(S)&= &\frac{\mu_s-r}{\sigma_s} \\ M(C)&= &\frac{\mu_c-r}{\sigma_c} \end{eqnarray*} となることは先にポートフォリオ管理で説明した。
この二つのリスク資産を使って、新たなポートフォリオ$F$を構築する。それぞれ配分を$w_s,w_c$とすれば、 \[ F=w_sS+w_cC \] となり、ポートフォリオの微小変化を考えれば、 \begin{eqnarray*} dF&= &w_sdS+w_cdC \\ &= &(w_s\mu_sS+w_c\mu_cC)dt+(w_s\sigma_sS+w_c\sigma_cC)dW_t \end{eqnarray*} であるが、ここで適当な配分比率として、 \[ w_s=1,\qquad w_c=-\frac{\sigma_sS}{\sigma_cC} \] とする。すると、目視でも$dF$の右辺の第二項が消えることがわかるが、
残りは、 \[ dF=\left(\mu_sS-\frac{\sigma_s}{\sigma_c}\mu_cS\right)dt \] である。つまりこの式では不確実項$dW_t$がなくなっている。
勝手に定めた配分比率のこのポートフォリオ$F$には不確実性が消失しているので、 所定の期間が過ぎれば、所定の利子が確実に得られる。確実で無リスクなポートフォリオになっているということである。
無リスクなポートフォリオは無裁定な市場では一物一価の法則が働いて、安全資産となる。 したがってその微小期間の収益率は、$e^{rdt}=1+rdt$と近似をゆるせば、 \[ dF=Frdt \] とならなければいけない。左辺は上の式で、右辺は、 \[ Frdt=\left( S-\frac{\sigma_s}{\sigma_c}S \right)rdt \] であるから、これらを等しいと置けば、 \[ \frac{\mu_s-r}{\sigma_s}=\frac{\mu_c-r}{\sigma_c} \] となり、 \[ M(S)=M(C)=\lambda \] が得られる。これは任意のリスク資産で成立しているのである。
すなわち、ポートフォリオ複製が可能であり、市場が無裁定であるならばどのリスク資産の超過収益率をリスクで除したものも 一定の値$\lambda$で存在することになる。
この説明では、任意の二つのリスク資産を用意しただけで、条件は複製したポートフォリオが無リスクとなることを 使っただけである。無裁定市場では、どのリスク資産をとってもリスクあたりの超過収益率が一定になることを、 リスクの市場価格は一定の値になっているという。
ただ、この簡単な確認では疑問をもたれる方も多いかもしれない。
その最右翼のものはウィーナー過程が一つしか使われていないことであろう。 なぜなら経済や市場はたくさんの撹乱項で動いているではないかという指摘である。
もちろんこの指摘は正しい。より一般的かつ厳密には複数の撹乱項を用いて証明することができるのだが、 ここでそこに踏み込むことはできない。
とはいえ、撹乱項を体現する正規分布には加法に関する線型性（再生性） という優良な性質があったことを思い出してほしい。そして中心極限定理も利用可能であるとすると、 あながち一つのウィーナー過程での証明が本質を踏み外しているわけでもないことは忖度できるであろう。 要するに経済全体の撹乱要因を一つと見ていることである。
裁定定理（リスクの市場価格による表現）
市場に裁定の機会が存在しないならば、一定のリスクの市場価格が存在する。逆もまた正しい。