プットオプション
ずっとコール（買い）オプションの価格を議論してきたが、同じ行使期限、行使価格のプット（売り）オプションの現在価格はどうなるであろうか。 この項では、簡単にプットオプションの価格、プットコールパリティと呼ばれるプットオプションとコールオプションの関係について考えてみたい。
「買い」が値段をつければ、「売り」はゼロというわけではない。売りオプションも権利であるから、相当の価値を持つのである。 だからといって売り買い等しい値段と云うこともない。コールとプットの価値を結びつけるのも、やはり無裁定の条件なのである。
プット・オプションの現在価格の導出は複製ポートフォリオの方法によるものが一般的である。
簡単のために1期間で考えよう。現在0時点で、次のようなポートフォリオを構築する。括弧の中は構築のために発生するキャッシュフローである。
＜プットオプション価格導出のためのポートフォリオ＞
コールオプションの購入（$-C_0$）
1時点で行使価格$K$と同額の安全資産の購入（$-Ke^{-r}$）
プットオプションの売却（$P_0$）
原資産の売却（$S_0$）
これまでポートフォリオの構築とは、個別の資産を幾つかの単位で構成することを中心に考えてきたので、 もう一歩進んだ上記のようなポートフォリオになると少し戸惑いも生まれるかもしれない。
しかし、いささか立ち止まってつきつめれば同じ概念になることは理解できるだろう。ポートフォリオ構築とは柔軟な発想で、 広く応用できる手法なのである。
さて、合計すれば現時点でのキャッシュフロー$V_0$は、 \[ V_0=-C_0-Ke^{-r}+P_0+S_0 \] となる。
求めたいものはプットオプションの現在価格$P_0$dであるから、この$V_0$に何かの値を結び付けたい。 そのためにこのポートフォリオを将来1時点で完全に清算する。
安全資産は$K$で売却、原資産は$S_1$で購入することになる。 オプションはその時点の原資産の価格と行使価格に左右されるので、場合分けをしよう。
$S1\lt K$ならば、コールオプション価値は0、プットオプション価値は$K-S_1$
$S_1\gt K$ならば、コールオプション価値は$S_1-K$、プットオプション価値は0
それぞれの場合のキャッシュフローは、精算売買の符号に注意して、
\[ S1\lt K\rightarrow V_1=0+K+(S_1-K)-S_1=0 \] \[ S1\gt K\rightarrow V_1=(S_1-K)+K+0-S_1=0 \]
いずれの場合もこのポートフォリオの将来価値はゼロとなる。 したがって市場が無裁定であるならば、このポートフォリオの現在価値はゼロでなければならない。
故に、$V_0=0$であるから、 \[ P_0=C_0+Ke^{-r}-S_0 \] となって、プットオプションの現在価値が求められた。
ちょっと移項して、 \[ C_0-P_0=S_0-e^{-r}K \] とすると、 \[ コールオプションの価格－プットオプションの価格＝原資産価格－割引後権利行使価格\] となるが、この関係をプット・コールパリティという。
コール、プット両方のオプションが取引されていて、このような関係が成立していないならば、無裁定の条件が崩れていることになる。
もちろん、プットオプションに関するブラック・ショールズ式として求めることも可能である。
\begin{eqnarray*} C_0 &= &S_0\Phi(d)-e^{-rt}K\Phi(d-\sigma\sqrt{t}) \end{eqnarray*} をプットコールパリティの式に代入する。
\begin{eqnarray*} P_0&= &C_0+Ke^{-rt}-S_0\\ &= & S_0\Phi(d)-e^{-rt}K\Phi(d-\sigma\sqrt{t}) +Ke^{-rt}-S_0\\ &= & e^{-rt}K\left(1-\Phi(d-\sigma\sqrt{t}) \right)-S_0\left(1-\Phi(d) \right) \\ &= & e^{-rt}K\Phi(\sigma\sqrt{t}-d)-S_0\Phi(-d)\\ \end{eqnarray*}
これがプットオプションに関するブラック・ショールズ式となる。ここで、 \[ d=\frac{ \log\frac{S_0}{K}+rt+\frac{1}{2}\sigma^2 t}{\sigma \sqrt{t}} \] である。