時間変化率とブラック・ショールズ・オプション公式の検算
コール・オプションのリスクヘッジのために、ブラック・ショールズのオプション公式に現われる変数の変化率を求めている。 幾度も掲載しているが、ブラック・ショールズのオプション公式は次のようなものであった。 \[ C_0=S_0\Phi(d_1)-e^{-rt}K\Phi(d_2) \quad ,\quad \Phi(d)\sim N(0,1) \] \[ d_1=\frac{ \log\frac{S_0}{K}+rt+\frac{1}{2}\sigma^2 t}{\sigma \sqrt{t}}\quad ,\quad d_2=d_1-\sigma \sqrt{t} \]
前項ですでに求めたリスクヘッジパラメータであるデルタとガンマを再掲しておこう。
デルタ（$\partial C/\partial S$）
\begin{eqnarray*} & & \frac{\partial C}{\partial S}=\Phi(d_1) \end{eqnarray*}
ガンマ（$\partial ^2C/\partial S^2$）
\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2C}{\partial S^2}&=&\frac{1}{\sigma S\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{d_1^2}{2}}\\ \end{eqnarray*}
シータ（$\partial C/\partial t$）
残っている変化率は、時間変化率であって、ギリシャ文字ニックネームでは、シータと呼ばれている。 \[時間変化率：\frac{\partial C}{\partial t} \]
時間の取り扱いは、少し配慮を要する。これまで$t=T$ としてきたので、この$T$を固定して、$\tau=T-t$ と考えれば、 \[ \frac{\partial C}{\partial \tau}=- \frac{\partial C}{\partial t} \] なので、 \begin{eqnarray*} \frac{\partial C}{\partial \tau}&=&-\frac{\partial C}{\partial t} = - S\frac{\partial \Phi(d_1)}{\partial d_1} \frac{\partial d_1}{\partial t} -re^{-rt }K\Phi(d_2) \\ & & +e^{-rt}K\frac{\partial \Phi(d_2)}{\partial d_2} \frac{\partial d_2}{\partial t} \\ &=& - S\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{d_1^2}{2}}\frac{\partial d_1}{\partial t}-re^{-rt }K\Phi(d_2) \\ & & +e^{-rt}K\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{d_2^2}{2}}\frac{\partial d_2}{\partial t}\\ &=& - S\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\left\{e^{-\frac{d_1^2}{2}}\frac{\partial d_1}{\partial t}-e^{-rt }\frac{K}{S}e^{-\frac{d_2^2}{2}}\frac{\partial d_2}{\partial t} \right\}\\ & & -re^{-rt }K\Phi(d_2)\\ &=& - S\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{d_1^2}{2}}\left\{ \frac{\partial d_1}{\partial t}-\frac{\partial d_2}{\partial t} \right\}\\ & & -re^{-rt }K\Phi(d_2) \end{eqnarray*} 4行目はデルタでの変換を利用した。さらに、 \begin{eqnarray*} \frac{\partial d_2}{\partial t}&=& \frac{\partial }{\partial t}\left( d_1-\sigma \sqrt{t} \right)\\ &=& \frac{\partial d_1}{\partial t}-\frac{\sigma }{2\sqrt{t}} \end{eqnarray*} なので、故に、シータは、 \[ \frac{\partial C}{\partial t}= - S\frac{\sigma }{2\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{d_1^2}{2}} -re^{-rt }K\Phi(d_2)\] となる。
ブラック・ショールズの偏微分方程式の検算
ブラック・ショールズのオプション公式は偏微分方程式を解いて求めたわけであるから、当然オプション公式は偏微分方程式を満足している。
いっそう一般的に考えても、もともとブラック・ショールズの偏微分方程式は無裁定条件のもとで幾何ブラウン運動に従う原資産をもつ派生資産の価格が満たすべき条件を表している。
オプションは派生資産であるし、ブラウン運動を前提とし、無最低条件から求められたものであるから、 もとの偏微分方程式を満足しているはずである。
リスクヘッジで得られた変化率の式を利用して、このことを確認してみよう。
ブラック・ショールズの偏微分方程式は次のようなものであった。 \[\frac{\partial C_t}{\partial t}+rS_t\frac{\partial C_t}{\partial S_t}+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\frac{\partial ^2C_t}{\partial S_t^2}-rC_t=0 \] そしてオプション公式はこの偏微分方程式を解いて求められた。
オプション公式が元の偏微分方程式を満足しているかどうかを確認するためには、偏微分方程式の各項をオプション公式から求めて代入すればよい。 ところが偏微分方程式の各項はリスクヘッジに利用するパラメータ（ガンマ、デルタ、シータ）になっている。
三つの変化率が準備できているので、もとの偏微分方程式に代入する。すべてを代入すると、 \begin{eqnarray*} & & - S\frac{\sigma }{2\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{d_1^2}{2}} -re^{-rt }K\Phi(d_2)+rS\Phi(d_1)\\ & & +\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{1}{\sigma S\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{d_1^2}{2}}-r\left\{ S\Phi(d_1)-e^{-rt}K\Phi(d_2) \right\}\\ & & = 0 \end{eqnarray*} となって、方程式を満足していることが確認できた。
\[ C_t=S\Phi(d_1)-e^{-rt}K\Phi(d_2) \] であることは冒頭のとおりである。